《信号与系统》系列 - Ch05 拉普拉斯变换

Ch 05 - 拉普拉斯变换

傅里叶变换可求的条件是 $\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}{\rm d}t$ 绝对可积。显然，对于某些增长阶过高的信号，该积分发散。

拉普拉斯变换推广了傅里叶变换，放宽了信号可转频域分析的条件：

$$X(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-\sigma t}{\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}{\rm d}t \\=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-s t}{\rm d}t$$

其中 $s=\sigma+{\rm j}\Omega$，可视为用 $\exp({-\sigma t})$ 调制 $x(t)$ 后的傅里叶变换。取 $\sigma=0$，结果退化为傅里叶变换。

收敛域

不难看出，拉普拉斯变换是否存在，与 $\sigma$ 的取值有关，即 $x(t)$ 的增长阶能否被压制。可行的 $\sigma$ 的区间被称为收敛域（ROC）。ROC 可在零极点图上表示，横轴为 $\sigma$，纵轴为 ${\rm j}\Omega$。收敛域的边界是平行于 ${\rm j}\Omega$ 轴的直线。

• 如果 $x(t)$ 是时限的，则收敛域是整个 $s$ 平面。可解释为时限即时域加窗，则频域有无限的 $\rm sinc$

• 右边信号的 ROC 靠右，左边信号的 ROC 靠左

拉普拉斯反变换

$$x(t)=\frac{1}{2\pi{\rm j}}\int_{\sigma-{\rm j}\infty}^{\sigma+{\rm j}\infty}X(s){\rm e}^{st}{\rm d}s$$

直接求取拉普拉斯反变换的形式需要更多复变函数的知识，部分典型的反变换可查表得到。

对于可使用微分方程描述的系统，还可使用部分分式分解来得到：

$$X(s)=N(s)/D(s)=(b_ms^m+...+b_1s+b_0)/(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0)$$

• $m\ge n$

  此时 $X(s)$ 可化为多项式+有理真分式的形式

• $m<n$

  $$X(s)=\frac{K_1}{s-s_1}+...+\frac{K_n}{s-s_n}$$

  对于无重根的情况，$K_k=(s-s_k)X(s)|_{s=s_k}$

  对于有重根的情况，$K_{1p}=(s-s_k)^pX(s)|_{s=s_k}$，$K_{1k}=\frac{1}{(p-k)!}(\frac{\rm d}{{\rm d}s})^{p-k}(s-s_1)^pX(s)|_{s=s_1}$

基本性质

• 线性

• 时移

  $x(t-t_0)\leftrightarrow {\rm e}^{-st_0}X(s)$

• 频移

  ${\rm e}^{s_0t}x(t)\leftrightarrow X(s-s_0)$

• 尺度变换

  $x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}X(s/a)$

• 卷积

  $x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)X_2(s)$

• 微分

  $\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)\leftrightarrow sX(s)$

  $-tx(t)\leftrightarrow \frac{\rm d}{{\rm d}s} X(s)$

• 积分

  $\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau\leftrightarrow X(s)/s$

  $x(t)/t \leftrightarrow \int_{s}^{+\infty}X(s'){\rm d}s'$

• 初值定理与终值定理

  $x(0^+)=\lim_{s\rightarrow +\infty} sX(s)$

  $\lim_{t\rightarrow+\infty}x(t)=\lim_{s\rightarrow 0}X(s)$

常用变换对

时域	复频域	ROC
$\delta(t)$	$1$	$s$ 平面
$\delta(t-T)$	${\rm e}^{-sT}$	$s$ 平面
$u(t)$	$1/s$	${\rm Re}\{s\}>0$
$-u(-t)$	$1/s$	${\rm Re}\{s\}<0$
$tu(t)$	$1/s^2$	${\rm Re}\{s\}>0$
${\rm e}^{-at}u(t)$	$1/(s+a)$	${\rm Re}\{s\}>-a$
$-{\rm e}^{-at}u(-t)$	$1/(s+a)$	${\rm Re}\{s\}<-a$
$\cos(\Omega_ct)u(t)$	$s/(s^2+\Omega_c^2)$	${\rm Re} \{s\}>0$
$\sin(\Omega_ct)u(t)$	$\Omega_c/(s^2+\Omega_c^2)$	${\rm Re} \{s\}>0$
${\rm e}^{-at} \cos(\Omega_ct)u(t)$	$(s+a)/((s+a)^2+\Omega_c^2)$	${\rm Re}\{s\}>-a$
${\rm e}^{-at} \sin(\Omega_ct)u(t)$	$\Omega_c/((s+a)^2+\Omega_c^2)$	${\rm Re}\{s\}>-a$

在使用该表进行反变换时，需要根据收敛域确定左边与右边信号。例如：

$$\frac{K_k}{s-s_k}\leftrightarrow \begin{cases} K_k{\rm e}^{s_kt}u(t),~{\rm Rightside} \\-K_k{\rm e}^{s_kt}u(-t),~{\rm Leftside} \end{cases}$$

对于极点在 ROC 左的，适用右边函数；极点在 ROC 右的，适用左边函数。

带初始条件的增量线性系统单边 $\mathcal L$ 变换

考虑带偏置的系统的两组输出 $y_1=kx_1+b$ 和 $y_2=kx_2+b$，不满足线性

$$k(\alpha x_1+ \beta x_2)+b \neq \alpha y_1+\beta y_2$$

但满足增量线性

$$\Delta y_1=k\Delta x_1,~\Delta y_2=k\Delta x_2 \\ \Rightarrow k(\alpha \Delta x_1+ \beta \Delta x_2) = \alpha \Delta y_1+\beta \Delta y_2$$

对这类系统也有类似的结论来进行频域分析。增量线性系统满足

$$\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}y(t)=s^2Y(s)-sy(0^-)-y'(0^-)\\ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}y(t)=sY(s)-y(0^-)\\ $$

则频域可化为

$$Y(s)=X(s)/H_1(s)+H_2(s)$$

其中与输入无关，仅与系统本身相关（初值条件）的 $H_2(s)$ 称为零输入响应；加号的另一部分称为零状态响应。

连续 LTI 系统的复频域分析

• $X(s)=\mathcal L(x(t))$
• 确定 $H(s)$
• $Y(s)=X(s)H(s)$
• $y(t)=\mathcal L^{-1}(Y(s))$

对于稳定的 LTI 系统，ROC 必含 ${\rm j}\Omega$ 轴；对于因果的 LTI 系统，全部极点都在 $s$ 平面的左半平面。