《信号与系统》系列 - Ch02 连续信号的时域分析

Ch 02 - 连续信号的时域分析

卷积

x(t) --- h(t) --> y(t)

$$f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau){\rm d}\tau$$

代数性质

• 交换律

• 结合律

• 分配律

• 微分：$(\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}f_1(t))*f_2(t)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(f_1(t)*f_2(t))$

• 积分：$(\int_{-\infty}^t f_1(t))*f_2(t)=\int_{-\infty}^t(f_1(t)*f_2(t))$

• 结合微、积分性质有：

  $$y(t)=x(t)*h(t)\\ =\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}x(t)*\int_{-\infty}^th(\tau){\rm d}\tau\\ =\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau* \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}h(t)$$

与基本函数的互操作

• 冲激 $\delta(t)$

  $x(t)*\delta(t)=x(t)$

  $x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$

  $x(t)*\delta'(t)=x'(t)$

• 阶跃 $u(t)$

  $x(t)*u(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau$

  $u(t)*u(t)=tu(t)$

• 两个门函数的卷积

  $AG(t_1,t_2)*BG(t_3,t_4)$（$a=t_2-t_1<b=t_4-t_3$）

  结果为等腰梯形，底两端为$t_1+t_3,t_2+t_4$，高为$ABa$，腰对应底边长$a$，上底长$b-a$。

连续 LTI 系统的微分方程描述

$n$ 阶通式

引入微分算子 $p^k =\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}t^k}$

$$\sum_{k=0}^n a_k p^ky(t)= \sum_{k=0}^m b_k p^kx(t)$$

不失一般性，可改写为

$$D(p)y(t)=(p^n+a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p+a_0)y(t)\\= (b_mp^m+b_{m-1}p^{m-1}+...+b_1p+b_0)x(t)=N(p)x(t)$$

从而

$$y(t)=\frac{N(p)}{D(p)}x(t)=H(p)x(t)$$

单位冲激响应为

$$h(t)=H(p)\delta(t)$$

框图表示

例

$$p^2y(t)+2py(t)-2y(t)=x(t)+px(t)+3\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau \\ \Rightarrow(p^3+2p^2-2p)y(t)=(p^2+p+3)x(t) \\ \Rightarrow y(t)=\frac{p^2+p+3}{p^3+2p^2-2p}x(t)$$

令

$$q(t)=\frac{1}{p^3+2p^2-2p}x(t)$$

则

$$y(t)=(p^2+p+3)q(t)\\ x(t)=(p^3+2p^2-2p)q(t) \\ \Rightarrow p^3q(t)=x(t)-2p^2q(t)+2pq(t)$$

借助积分器反复降次与求和器画图即可。

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