《信号与系统》系列 - Ch02 连续信号的时域分析
Ch 02 - 连续信号的时域分析
卷积
x(t) --- h(t) --> y(t)
\[f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau){\rm d}\tau
\]
代数性质
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交换律
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结合律
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分配律
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微分:\((\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}f_1(t))*f_2(t)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(f_1(t)*f_2(t))\)
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积分:\((\int_{-\infty}^t f_1(t))*f_2(t)=\int_{-\infty}^t(f_1(t)*f_2(t))\)
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结合微、积分性质有:
\[y(t)=x(t)*h(t)\\ =\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}x(t)*\int_{-\infty}^th(\tau){\rm d}\tau\\ =\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau* \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}h(t) \]
与基本函数的互操作
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冲激 \(\delta(t)\)
\(x(t)*\delta(t)=x(t)\)
\(x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)\)
\(x(t)*\delta'(t)=x'(t)\)
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阶跃 \(u(t)\)
\(x(t)*u(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau\)
\(u(t)*u(t)=tu(t)\)
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两个门函数的卷积
\(AG(t_1,t_2)*BG(t_3,t_4)\)(\(a=t_2-t_1<b=t_4-t_3\))
结果为等腰梯形,底两端为\(t_1+t_3,t_2+t_4\),高为\(ABa\),腰对应底边长\(a\),上底长\(b-a\)。
连续 LTI 系统的微分方程描述
\(n\) 阶通式
引入微分算子 \(p^k =\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}t^k}\)
\[\sum_{k=0}^n a_k p^ky(t)=
\sum_{k=0}^m b_k p^kx(t)
\]
不失一般性,可改写为
\[D(p)y(t)=(p^n+a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p+a_0)y(t)\\=
(b_mp^m+b_{m-1}p^{m-1}+...+b_1p+b_0)x(t)=N(p)x(t)
\]
从而
\[y(t)=\frac{N(p)}{D(p)}x(t)=H(p)x(t)
\]
单位冲激响应为
\[h(t)=H(p)\delta(t)
\]
框图表示
例
\[p^2y(t)+2py(t)-2y(t)=x(t)+px(t)+3\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau
\\ \Rightarrow(p^3+2p^2-2p)y(t)=(p^2+p+3)x(t)
\\ \Rightarrow y(t)=\frac{p^2+p+3}{p^3+2p^2-2p}x(t)
\]
令
\[q(t)=\frac{1}{p^3+2p^2-2p}x(t)
\]
则
\[y(t)=(p^2+p+3)q(t)\\
x(t)=(p^3+2p^2-2p)q(t)
\\ \Rightarrow p^3q(t)=x(t)-2p^2q(t)+2pq(t)
\]
借助积分器反复降次与求和器画图即可。