《信号与系统》系列 - Ch01 信号与系统

Ch 01 - 信号与系统

基本运算

• 加减运算（叠加）：\(f_1(t)+f_2(t)\)
• 乘法运算（信号互乘）：\(f_1(t)f_2(t)\)
• 标量乘法（数乘）：\(af_1(t)\)
• 平移变换：\(x(t \pm t_0)\)（左加右减）
• 对称反转：\(x(-t)\)（以\(t=0\)为轴）
• 水平尺度变换（连续信号）：\(x(at)\)，\(a>1\)缩窄，\(a<1\)展宽
• 水平尺度变换（离散信号）：缩窄：丢去信号；展宽：内插信号

常用特性

• 奇偶性：\(x(t)=x(-t)\)，\(-x(t)=x(-t)\)
• 奇偶分解：\(x_o(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]\)，\(x_e(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]\)
• 周期性：\(x(t)=x(t+mT),m=0,\pm 1,...\)，最小正周期（基波周期）\(T_0\)

复数的表示法

• 虚实部：\(a+{\rm j}b\)
• 幅度相位：\(|H({\rm e}^{{\rm j} w})|{\rm e}^{{\rm j} w}\)
• 欧拉公式：\({\rm e}^{{\rm j} x}=\cos x+{\rm j}\sin x\)

欧拉公式

\(x(t)={\rm e}^{{\rm j}x}=\cos x+{\rm j}\sin x\)

\(\Rightarrow \sin \Omega t=\frac{1}{2{\rm j}}({\rm e}^{{\rm j}\Omega t} - {\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}),\quad \cos\Omega t=\frac{1}{2}({\rm e}^{{\rm j}\Omega t} + {\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}),\)

谐波

一组周期性复指数信号

• 连续：\(\Phi_k(t)=\{{\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0 t}\}\)，\(\Omega_0\) 为基波周期
• 离散：\(\Phi_k(n)=\{{\rm e}^{{\rm j}2\pi nk/N}\}\)，\(N\) 为基波周期

基本信号

• 单位冲激（Unit Impulse）

  • 连续：\(\delta(t)\)

    \(\int_{-\infin}^{+\infin}\delta(t){\rm d}t=1\)，\(\delta(t)=0~(t\neq 0)\)（狄拉克函数）

    \(\delta(t)=\delta(-t)\)

    \(\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\)

    \(\delta(t)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}u(t)\)（微分特性）

    冲击偶积分 \(\int_{-\infin}^{+\infin}t\delta'(t){\rm d}t=-1\)

  • 离散：\(\delta(n)=1~(n=0), 0~(n\ne0)\)

    \(x(n)\delta(n)=x(0)\delta(n)\)（取样特性）

    \(x(n)\delta(n-m)=x(m)\delta(n-m)\)（取样特性）

    \(\delta(n)=u(n)-u(n-1)\)

    \(\sum_{k=0}^{\infin}\delta(n-k)=u(n)\)

• 单位阶跃

  • 连续：\(u(t)=1~(t>0),0~(t<0)\)

    \(x(t)u(t)=x(t)~(t>0),0~(t<0)\)（单边化）

    \(u(t)-u(t-\tau)\)（脉冲分解）

  • 离散：\(u(n)=1~(n\ge 0),0~(t<0)\)

系统的基本单元

• 放大器：\(y(t)=ax(t)\)
• 积分器：\(y(t)=\int_{-\infin}^tx(\tau){\rm d}\tau\)
• 延迟器：\(y(t)=x(t-T)\)
• 加法器
• 乘法器
• 移序器：\(y(n)=x(n-1)\)

系统的性质

• 可逆性：\(H \leftrightarrow H^{-1}\)
• 因果性：某时刻的输出只取决于当前和以前的输入，而不取决于将来的输入
• 时不变：\(x(t-t_0) \leftrightarrow y(t-t_0)\)
• 线性：\(ax_1+bx_2 \leftrightarrow ay_1+by_2\)
• 稳定性：\(|y(n)|\) 有界