DP斜率优化

斜率优化

hdu3507

要输出N个正数字 $a[N]$，输出的时候可以连续的输出，每连续输出一串，它的费用是 ：这串数字和的平方加上一个常数 $M$。 求费用最小。

网课手推式子

$f[i] = min\{f[j] + sum[i - j + 1]^2+M\}$

上述式子正确

时间复杂度为 $O(N^2)$,$500000$ 直接起飞~

前方高能

我们对上述式子进行定义：

我们定义两个决策点，$j, k$ 并且 $j > k$, 那么我们要想使 $dp$ 值从 $j$ 转移的解比从 $k$ 的更优的条件应该符合什么？

代入式子得：

$f[i]+(s[i+1]-s[j])^2+M < f[k]+(s[i+1]-s[k])^2+M$

移项得

$f[j]+s[j]^2] - f[k]+s[k]^2 < 2\times s[i+1]\times(s[j]-s[k])$

最终得

$\dfrac{(f[j]+s[j]^2) + (f[k]+s[k]^2)}{s[j]-s[k]}<2\times s[i+1]$

令 $dp[x] = f[x]+s[x]^2$,代换得

$\dfrac{dp[j]-dp[k]}{s[j]-s[k]}<2\times s[i+1]$

故当条件满足上述不等关系时，$j$ 比 $k$ 转移更优，($j>k$这里指的是位置更靠后)

我们将$(s[k],dp[k])$ 看做一个点的话，那么上述式子则表示的就是斜率公式（纵差比横差），故我们可以画出两点之间的斜率

那么对于我们所求的当前 $f[t]$ ，中上述三个决策点的劣优就可以得到了 为：$k＜j<i$,前提是我们必须知道不等关系右边的大小

现在推到广义上，$j，k,i$ 变量之间不知道存在的位置大小关系，

那么就存在三种情况

第一种：

$\dfrac{dp[j]-dp[k]}{s[j]-s[k]}>\dfrac{dp[i]-dp[j]}{s[i]-s[j]}>2\times s[t+1]$

优劣程度：$i<j<k$

第二种

$\dfrac{dp[j]-dp[k]}{s[j]-s[k]}>2\times s[t+1]>\dfrac{dp[i]-dp[j]}{s[i]-s[j]}$

优劣程度：$i>k>j$

第三种

$2\times s[t+1]>\dfrac{dp[j]-dp[k]}{s[j]-s[k]}>\dfrac{dp[i]-dp[j]}{s[i]-s[j]}$

优劣程度：$i>j>k$

故我们在这三种情况下得出不可能是最优的，那么它就可以不做决策点，即上凸图像不可做决策点

因此我们只需要维护下凸点即可，具体就是用队列进行维护

对于不同的斜率不等式，需要维护的凸点是不同的，小于就是维护下凸，大于维护上凸

问题是凸包中谁是更优呢？

自然就是斜率不大于当前斜率

边界是 $s[t+1]$

优劣程度：$k >l>j>i$

若大于，则前者优

若小于，则后者优，故 $k$ 比 $l$ 更优

二分（在右侧不存在单调性）

实现方式：

找到不大于 $s[t+1]$ 的最大位置，如果判断出 $k$ 比 $j$ 优，那么往后的 $s[t+2,+3,+4...]$ 都不会在用到 $j$,因此可以将 $j$ 剔除，为什么？因为 $s[i]$ 存在单调性，往后的值只会用到当前有用的决策点，并且优先选择更优的决策点，那么留着 $j$ 干什么，所以提出

这个过程可以利用单调队列来维护，保证队列中一直是当前有用决策点的集合

对于当前不合法的就直接出队， 合法但不是已经有比他更优的也弹出队

int getup(int j, int k)
{
  return dp[j] + sum[j] * sum[j] - dp[k] - sum[k] *sum[k]
}//推导式中上部分
int getdown(int j, int k)
{
  return 2 * (sum[j] - sum[k])
}
int getdp(int i, int j)
{
  return dp[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]) + m
}

head = tail = 1;
q[1] = 0;
for (int i = 1; i<= n; i++)
{
  while (head < tail && getup(q[head+1], q[head])) <= sum[i] * getdown(q[head+1], q[head]) head++;
//(合法与不合比较)  
  
  dp[i] = getdp(i, q[head]);
   
  while (head < tail && getup(i, q[tail]) * getdown(q[tail], q[tail-1])<=getup(q[tail], q[tail] - 1) * getdown(i, q[tail])) tail--;
//队首的下一个比队首更优，那么就将它弹出 
//合法中更优解比较，若斜率之比更小1，那么前者小于后者，即 i 优于 tail, 那么tail 在以后的比较将不会被用到，那么弹出  
  
  q[++tail] = i;
  //将可能是以后的更优解加入队列，为什么是可能？因为它可能也会被下一个所代替，不过还是需要让他入队，
  //我们不知道他的作用，即使无用在下一次的决策点判断中也会弹出 
}

引进概念

类型 ： 优化状态转移

模式：

假定决策点之间的位置关系，

代入推公式

得到斜率公式，跑单调队列

"$<$" 维护下凸 "$>$" 维护上凸

BZOJ3156

$$\begin{alignedat}{3} f[i]&= f[j]+\sum_{t=j+1}^i(i-t)+a[i]\\ & =f[j]+i\times(i-j)-\sum_{t=j+1}^it+a[i]\\ & =f[j]+i\times(i-j)-(sum[i]-sum[j])+a[i]\\ \end{alignedat}$$

推到的话我就省略了，为了简单好推，用 $k=k+1,j=j+1$

$$\dfrac{2\times(f[k]-f[j])+K\times k-J\times j}{k+K-j-J}<i$$

#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int A = 1e7+10;
const int B = 1e6+10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

inline ll read() {
  char c = getchar();
  ll x = 0, f = 1;
  for ( ; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -1;
  for ( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
  return x * f;
}

ll n,a[B],f[B],head,tail,q[B],ans,t;

double xie(ll k,ll j) 
{
    return ((2.0*(f[k]-f[j])+k*(k+1)-j*(j+1))/(2*k-2*j));
}

int main()
{
    n=read();
    for (ll i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for (ll i=1;i<=n/2;i++) t=a[i],a[i]=a[n-i+1],a[n-i+1]=t;
    
    head=tail=1ll;
    q[1]=1ll;
    f[1]=a[1];
    ans=a[1]+1ll*n*(n-1)/2ll;
    
    for (ll i=2;i<=n;i++)
    {
        while (head<tail && xie(q[head+1],q[head])<i) head++;
        
        f[i]=f[q[head]]+1ll*(i-q[head])*(i-q[head]-1)/2+a[i];
        ans=min(ans,f[i]+1ll*(n-i+1)*(n-i)/2);
        
        while (head<tail && xie(q[tail],q[tail-1])>xie(i,q[tail])) tail--; 
        q[++tail]=i;
    }
    
    printf("%lld",ans);
} 

总结

斜率优化就是通式

$dp[i] = max/min\{f[j]+g[i]\times h[j]\}+a[i]$

抽象的点 $X$ 需要单调， $Y$ 不需要

不等式右边的需要保证单调性，不单调就二分查找维护