要命的逆元

Day 2 基础数论算法

from hzwer
by Zxsure

基础概念：

假设 m 和 n 是整数，且 m 不是 0，则 m 整除 n 指的是 n 是 m 的倍
数，即存在整数 k，使得 n = mk

$${m \| n \longrightarrow n = km}$$

如果 m 整除 a - b，我们就说 a 与 b 模 m 同余并记

$$\ a\ ≡ \ b(mod \ m)$$

举个例子:
$1 \ ≡\ 15\ (mod \ 7)$

• $15\ mod\ 7 = \ 1$
• $1\ mod\ 7 = \ 1$

换句话说：$a$ 和 $b$ 的余数相同

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例题：

1. 证明：如果一个数每一位加起来可以被 3 整除，那这个数就可以被 3
   整除？

$$\begin{align} abcd\ & =\ 1000a\ +\ 100b\ +\ 10c\ +\ d \\ & ≡a\ +b\ +c\ +d\ (mod\ 3) \\ & =999a\ +99b\ +9c \\ & ≡0(mod\ 3) \end{align}$$

素数

时间复杂度

$${O\sqrt n}$$

for(2~(sqrt)n)
check(i % m == 0)

素数筛法

在数列中筛去 2 ，3 ，5，7，8，9的倍数；

时间复杂度：

$${n\ log\ log n}$$

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例题

1. 分解质因数

2. 假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p。

   $${q_{max}\ = (2×3×4\cdots×p)+1}$$

3. 不能被所有的素数整除就找到更大的素数。

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素数的唯一分解

若整数 N≥2，那么 N 一定可以唯一地表示为若干素数的乘积。
形如

• ​${N = p_1^r ×p_2^r× …×p_k^r(p_i 为素数 , r_i ≥ 0)}$

最小公倍数

$$gcd(a,b)=1(a,b\ 互质)$$

$$gcd(a,b) = gcd(b ,a\ mod\ b)$$

return b = 0 ? a : gcd(b,a % b)

欧几里得算法

• ${gcd(a,b)=gcd(b, a\ mod \ b)}$

• 设 g = gcd(a, b)，r = a mod b，我们可以知道 a = kg + r

• 再根据 g 的最大公因数的性质（也就是同时整除a和b）就可以知道 g 也整除 r。

• 同样的，我们也可以证明，g 是同时整除 b 和 r 的最大的整数，这样，这个等式就成立了。

逆元

$$X*X^{-1}=1(mod\ p)$$

条件 ：解决同余意义下，无法进行除法的问题

推理：

$$\left\{ \begin{array}{c} {(a/b)\ mod\ p\not= \frac{a\ mod\ p}{b\ mod\ p}}\\ {(a/b)\ mod\ p\ = (a\ mod\ p)*(b^{-1}\ mod \ p)} \end{array} \right.$$

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推理过程

• 我们有： inv(x)⋅x≡1 (mod p)， 又据费马小定理：x^(p-1) ≡ 1 (mod p)

• 故有：inv(x)⋅x ≡ x^(p-1) (mod p) ，两边同时除以 x 有：

• inv(x) ≡ x^(p-2) (mod p) ，这就是模质数意义下的逆元求法。

• $inv$ 表示逆元

结论

$$a^{-1}=a^{p-2}$$

快速幂

1. 求快速幂 $a^b$

2. 预处理 ${a^1\ a^2\ a^3\ \cdots\ a^{2n} }$,对b进行二进制拆分

3. 如：${a^{21}=a^{16}*a^{4}*a^{1}}$

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练习题

CF1209A.Paint the Numbers (900)

题面：

• 给 n 个数 a1 ~ an。要求你把它们分成 k 组，使得每⼀组中的数，都能被这一组最小值整除。问 k 最小是多少？

• n <= 100, ai <= 10000

思路 :

1. 将序列排序，从头往后一次考虑最小数

2. 贪心+模拟

3. 以当前最小数去找到与其相关的倍数组成一组（贪）

4. 贪⼼筛法，每次取没被筛掉的最小元素，筛掉它的倍数(PPT)

Code :

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CF486A.Calculating Function (1100)

题面 ：

• 计算函数 f(n) = -1 + 2 - 3 + .. + ( - 1)^n * n

• n <= 10^15

思路 ：

1. n 为奇数，答案是 -(n+1)/2

2. n 为偶数，答案是 n / 2

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CF492B.Vanya and Lanterns (1200)

题面 ：

• 一个长为 L 的街道（左端点是 0，右端点是 L）上有 n 个相同的灯，第 i 个灯放置的位置是 ai

• 问灯的半径至少要是多少，才能使得整个街道都有灯光。

• n <= 1000, L <= 10^9

思路：

1. 暴力找到灯之间的距离一半最大值

2. 再比较两边界的的灯的距离。

CF570B. Simple Game (1300)

题面：

• 给 n，m，求⼀个数 a (1 ≤ a ≤ n)，使得当 c 在 1 到 n 的整数中随机取值时, |c − a| < |c − m| 成立的概率最大。

• n, m <= 10^9, m <= n

思路：

1. 分 2m ≤ n 和 2m > n 讨论

CF546B.Soldier and Badges (1300)

题面 ：

• 给 n 个数，每次操作可以将一个数 +1，要使这 n 个数都不相同， 求至少要加多少?

• n <= 3000

思路：

1. 排序，挨个+1

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401C.Team（1400）

题面：

• 构造一个 01 序列，包含 n 个 0，m 个 1

• 要求不存在连续 2 个 0，或 3 个 1

• 无解输出 -1

• 1 ≤ n, m ≤ 10^6

思路：

1. 判断无解的情况下。

2. 011和01进行构造

Code

/*
 	2020/10/3 20:59
 	CF401C Team
	by BZQ
*/
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
int main(){
	cin >> n;
	cin >> m;
	if(m > n*2 + 2 || n > m+1) cout << -1;//判断无解的情况 
	else
	{
		if(m > n*2){         //此处将 m >= n 的情况和 m > 2n 的情况做个合并。                
			for(int i = 1;i <= m - n*2; i++)//先对 m > 2n 进行预处理，之后操作一样。
				cout << "1";
			m = 2 * n; //注意：在做完预处理后，现在的序列就相当于是一个满011和01的序列，所以更新m; 				
		}
	    if(m >= n){
			for(int i = 1;i <= m - n; i++) // 先贪大后贪小 
		 		cout << "011";
			for(int i = 1;i <= 2*n-m; i++)
		 		cout << "01";
		}
 		if(n > m){
			cout << "0"; // 回复思路 1 中的问题：以为无解的边界为 n > m+1 故要想此时的 n > m 成立，当且仅当 n = m + 1; 
			for(int i = 1;i <= m;i++)
			 	cout << "10";
		}
	}
	return 0;
} //感谢观看，

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413C.Jeopardy!（1400）

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题面：

• 给 n 个关卡，每个关卡得分为 ai，有 m 次机会可以选择一个关卡通过后不得分，而将现有得分翻倍

• 你可以安排关卡的通过顺序和策略，求最大得分

• 1 ≤ n, m ≤ 100

思路：

1. 将可以翻倍关卡放在后头，且按从一到n排序，依次贪心

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POJ2689. Prime Distance

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题面 ：

• 给定两个整数 L, R (1 ≤ L ≤ R ≤ 2^31, R-L ≤ 10^6)，

• 求闭区间[L, R] 中相邻两个素数的差最大是多少？

思路：

1. 预处理${\sqrt{2^{31}}}$;

2. 暴力判断

3. 使用筛法求出 [2,√R] 之间的所有素数，对于每个素数 p ，把[L,R] 中能被 p 整除的数标记，即标记 i × p(⌈L/p⌉ ≤ i ≤ ⌊R/p⌋)为合数。

4. 将筛出的素数进行相邻两两比较，找出差最大的即可

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235A.LCM Challenge (1600）

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题面：

• 在小于n 的数中找三个数 a, b, c

• 最大化 lcm(a, b, c)

• n <= 10^6

思路：

1. 在接近 n 的数内找三个两两互质的，小范围暴力

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NOIP2014. 解方程

题面：

已知多项式方程：

• $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=0$

• 求这个方程在 [1,m][1,m] 内的整数解（nn 和 mm 均为正整数）。

思路：

1. 暴力验证[1，m]内的整数？系数太大，取模！

2. 方程的解不会超过n个

3. 如果$x=x_0$的时候，在对$p$ 取模后方程不成立，那么原方程必然不成立

4. 用比较小的质数验证一个，先排除大部分

以上思路来源PPT，本人无思路，因为不会

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