P1080国王游戏

贪心

国王游戏

怎么对大臣排序？？？

绝对按照右手排，貌似不对,md

假设 \(n==2\) 时候的到一种 \(cmp\) 的函数，然后直接排序就可以了，这就是贪心，信息学是一门不需要证明的许可，不用证明，对于\(\%90\) 的贪心题都可这么做，\(nb\)

思路

我们不妨设 \(n=2\) 时，最大获益金币的人最小

那第一个人 \(A\) 为 \(a.r,a.l\), 第二个人 \(B\) 为 \(b.r,b.l\)

设皇上的左右手分别为 \(z[0].l, z[0].r\)

当 \(A\) 在 \(B\) 的前边时

\(A\) 的钱

\[\frac{z[0].l}{a.r} \]

\(B\) 的钱

\[\frac{z[0].l\times a.l}{b.r} \]

答案 \(v1\) 为 \(max\{\frac{z[0].l}{a.r},\frac{z[0].l\times a.l}{b.r}\}\)

当 \(B\) 在 \(A\) 前面时

同理可得答案 \(v2\) 为 \(max\{\frac{z[0].l}{b.r},\frac{z[0].l\times b.l}{a.r}\}\)

最终答案就是 \(max\{v1,v2\}\)

那么当 \(n!=2\) 时呢，假设现在就这两个人需要我们讨论，我们不是需要国王到自己前面人左手的数嘛，我们设这个数为 \(x\) 那么式子的就是变成

\[v1=max\{\frac{x}{a.r},\frac{x\times a.l}{b.r}\}\\ v2=max\{\frac{x}{b.r},\frac{x\times b.l}{a.r}\}\\ \]

答案就是 \(ans=max\{v1,v2\}\)

当我们把分母去掉即，\(v1,v2\) 都乘以\(a.r\times b.r\)

化简得

\[v1=max\{b.r\times x,x\times a.l\times a.r\}\\ v2=max\{a.r\times x,x\times b.l\times b.r\}\\ \]

我们发现 \(x\) 可以消掉，即在这里答案的大小不受 \(x\) 的影响，那么我们的式子就可以变成

\[v1=max\{b.r,a.l\times a.r\}\\ v2=max\{a.r, b.l\times b.r\}\\ \]

有了式子我们就可以利用冒泡排序，时间复杂度为 \(O(n^2)\)

//冒泡排序
#include <iostream>

using namespace std;

struct node{
	int l,r;
};
node z[100010];

int cmo(node a, node b)//a是否放在b的前面
{
	int v1 = max(z[0].l/a.r, z[0].l*a.l / b.r);
	int v2 = max(z[0].l/b.r, z[0].l*b.l / a.r);
	
	if(v1<v2) return 1;
	else return 0;
}
int main()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<n;j++)
		{
			if(cmp(z[j+1],z[j])) swap(z[j+1], z[j]);
		}
}// O(n^2)

其实就变成了比较这四个数的大小，这样就可以进行贪心了

贪心式子是否可以优化呢？

我们不难发现 \(b.r<b.l\times b.r\) 和 \(a.r<a.l\times a.r\)

那么我们比较这是两个还有意义嘛，他们两个本质上就比右侧的大，所以剔除就好了，因此式子就化简成

\[ans=max\{b.r\times b.l, a.r\times a.l\} \]

贪心化简的本质

1. 去分母
2. 去除公共项
3. 出去无用项，即不可能更好
4. 简化完毕！

struct node{
  int l, r;
};

node z[B];
int ans=1, n;

int cmp(node a, node b)
{
  return a.l*a.r<b.l*b.r;
}

int main() {
  scanf("%d",&n);
  scanf("%d%d",&z[0].l,&z[0].r); 
  for (int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d%d",&z[i].l,&z[i].r);
    
  sort(z+1,z+1+n,cmp);
  for (int i=0;i<n;i++) ans*=z[i].l;
  printf("%d",ans/z[n].r);  
  return 0;
}