[NOI1999]生日蛋糕

生日蛋糕

题目描述

\(Mr.W\) 要制作一个体积为\(Nπ\) 的 \(M\) 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第 \(i\) 蛋糕是半径为\(R_i\) ，高度为 \(H_i\)的圆柱。当\(i < M\) 时，要求\(R_i > R_{i+1}\) 且\(H_i > H_{i+1}\) 。由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 \(Q\) 最小。

令 \(Q = Sπ\) ，请编程对给出的 \(N\) 和 \(M\) ，找出蛋糕的制作方案（适当的 \(R_i\)和 \(H_i\) 的值），使 \(S\) 最小。（除 \(Q\) 外，以上所有数据皆为正整数）

思路

​ 简单的深搜，只需要记录每次的 \(H\) 和 \(R\) ，依次深搜下去，在进行答案的比较，不过显然这会 \(TLE\)

​ 因此这也是一个练习剪枝很好的题，

1. 当前的奶油面积+之后的最小奶油面积>现在已求出的的最小奶油面积——果断``return`；

2. 当前的体积>n,return;

3. 当前的体积+之后的最大体积<体积总数，果断return；

4. 发现每次枚举半径和高时，是从上一个的半径和高，到还剩下的层数。为什么呢，是因为每一层的半径和高都要比下一层的小1，所以你得每一层都留一个1，\(So\)，是从上一个的半径和高，到还剩下的层数；

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
const int manx = 1e6;
int ans = 987654321;
int mins[manx],minv[manx];
inline void dfs(int c,int v, int s,int h,int r) {//层数，半径，高度，体积，抹奶油的外表面积 
    if(c == 0){
    	if(v == n) ans = min(ans ,s);
    	return;
	}
    if(v + minv[c] > n) return;
    if(s + mins[c] > ans) return;
    if(s + 2 *(n-v) / r > ans ) return;
    for (int i = r - 1; i >= c; --i)
    { 
    	if(c == m) s = i * i;
    	int Maxh = min(h - 1,(n - v - minv[c - 1])/(i * i)); 
        for (int j = Maxh; j >= c; --j)
            dfs(c - 1, v + i * i * j, s + 2 * i * j,j,i);
}}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
	int MaxR = sqrt(n);
	for(int i = 1;i <= n; i++){
		minv[i] = minv[i-1] + i * i * i;
		mins[i] = mins[i-1] + 2 * i * i;
	} 
//    for (int i = m; i <= nn; ++i)//因为有m层，所以第一层至少为m，至多推公式 
//        for (int j = m; j <= n / (m * m); ++j)//范围也是由体积公式推理而得 
//            dfs(1, i, j, n, i * i ); 
	dfs(m,0,0,n,MaxR); 
    if(ans == 987654321)
    cout<<0<<endl;
    else cout<<ans<<endl;
    return 0;
}