高中数学知识点

高中数学

分类和分部

加法原理（分类）

• 完成一件事情有 \(n\) 类做法，每一类对应的是 \(m_1,m_2,m_3..m_n\)，完成这一事情的做法是 \(m_1+m_2...m_n\)

乘法原理（分部）

• 完成一件事情分多步，每步有 \(m\) 中做法，则完成这件事有 \(m_1\times m_2 \times m_3....\times m_n\) 种选择

典例

一. 选举问题

1. 男生有三十人，女生有二十人，选一个人做代表，有几种选法

   • \(50\)

2. 男生有三十人，女生有二十人，选两个代表（一个女生，一个男生）

   • \(600\)

3. 选择两名作为代表(组合问题)

   • \(50\) \(\times 49 / 2\)

   • 无序

4. 选两名，一为作为班长，以为作为团支书记（不能重叠）（排列问题）

   • \(50 \times 49\)
   • 有顺序

5. 从\(-2-1 \ 0 \ 1 \ 2 \ 3\) 六个数中选三个，不重复作为二次函数 \(y =ax^2+bx+c\) 的系数，可以组成抛物线的条数

   • \(5\) \(\times\) \(5\) \(\times\) \(4\)（\(0\) 的特殊性）

6. 可以组成多少个方程

二. 数列问题

• 用\(0, 1,2, 3,4,5\) 可以

  • 排成多少个三位数的电话号码
    • \(6 \times6\times6\)
  • 排成多少个三位数
    • \(5\times6\times6\)
  • 排成多少个能被 \(2\) 整除的无重复数字的三位数（分类和分部结合的问题）
    • \(1-5，3 - 0\) 二十种 \(5\times4\times1\)
    • \(1-4，3 - 2\) 十六种 \(4\times4\times1\)
    • \(1- 4 ，3 -4\) 十六种 \(4\times4\times1\)
    • 方案相加就可
    • 先分类，在分部

• 有三个不同的小球放入五个不同盒子，每个盒子最多放一个小球，那么有多少种处理办法(类似开车问题)

  • \(5 \times4 \times3\)

• 有三个不同的小球放入五个不同盒子，每个盒子放一个小球，那么有多少种处理办法

  • \(5\times5\times5\)

三. 染色问题

1. 如图，五种\((a,b,c,d,e)\)颜色，相邻格子颜色不可以一样，问有多少种不同的填法

1	2
3	4

• 穷举法
• 运用分类和分部进行结合求解（数学竞赛）
  • \(1\) 和 \(4\) 之间是相互影响的，所以可以以此进行分类
    • \(1 - a\) ，\(4 \ !- a\) (两者异色) --- \(5\times4\times 3\times 3\)
    • \(1-a,4-a\) (两者同色) ---- \(5\times4\times 4\)

思路：知道自己已知只是进行小范围的解答，然后又小范围的答案去推理

四种植问题

1. 从 黄瓜，白菜，油菜，豆子 四种蔬菜当中选择三中，种在不同三块土质不同的土地上，期中黄瓜必须种植，有多少种种植方法

   • \(3\times 3\times 2\times\)

2. 五块地中三种作物 \(a,b,c\) ，相邻的不能中一样的（相邻不相同,且每种都需要种植），问有多少种法

   • \(3\times2\times2\times2\times2- (2\times3)\)（每种选择中存在只种植两种作物的情况，不符合条件，舍去）