Acwing 7. 混合背包问题

Acwing 7. 混合背包问题

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。

物品一共有三类：

• 第一类物品只能用 \(1\) 次（01背包）；
• 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
• 第三类物品最多只能用 \(s_i\) 次（多重背包）；

每种体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

思路:

根据上文对这三个背包问题的了解，列出他们各自的转移方程

• 01: \(f[i,j] = max(f[i-1][j],f[i - v[i]] + w[i])\)

• 多重: \(f[i,j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1,j - v[i]],+,...,f[i - 1,j - S_i v[i]] + S_i w[i])\)

• 完全:\(f[i,j] = max(f[i - 1][j],f[i - 1,j - v[i]],+,...,f[i - 1,j - S v[i]] + S w[i])\)

可知，当前物品的选法，和相应的更新值，和之前的物品类型无关。所以每次判断当前物品的类型，选择对应的转移方程来进行转移就可以了。

通过分析时间复杂度可知，多重背包需要用到二进制优化。

实现:

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
int dp[N], n, m;
struct Good
{
    int w, v;
} good[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    // 遍历物品
    while (n--)
    {
        int v, w, s;
        scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);
        // 如果可以无数次用，就是完全背包
        if (!s)
            // 遍历体积
            for (int j = v; j <= m; j++)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
        else
        {
            // 将01背包看成可以使用1次的多重背包
            if (s == -1)
                s = 1;

            // 二进制优化多重背包看成01背包
            int cnt = 1;
            for (int i = 1; i <= s; i *= 2)
            {
                good[cnt].v = v * i;
                good[cnt++].w = w * i;
                s -= i;
            }
            // 最后一部分
            if (s > 0)
            {
                good[cnt].v = v * s;
                good[cnt++].w = w * s;
            }

            // 遍历物品
            for (int i = 1; i < cnt; i++)
                // 遍历体积
                for (int j = m; j >= good[i].v; j--)
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - good[i].v] + good[i].w);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[m]);
    return 0;
}