P2734 游戏 A Game

1|0P2734 游戏 A Game

有 $N$ 个正整数的序列放在一个游戏平台上，游戏由玩家1开始，两人轮流从序列的任意一段取一个数，取数后该数字被去掉并累加到本玩家的得分中，当数取尽时，游戏结束。现在假设两个玩家都采取最优策略，输出最优玩家一和玩家二的最终分数?

例如: $v=\{8,15,3,7\}$ ，先手拿 $7$ ,对手拿 $8$ ；先手再拿 $15$ ，对手拿 $3$ 结束，先手拿到的最大价值为 $7+15=22$

思路:

贪心？

显然不行，刚刚的案例如果用贪心的话，先手第一次拿 $8$ 对手一定拿 $15$ ，最终先手的值肯定不如刚刚的选法。

想到每次可以选 $a[i]$ 或者 $a[j]$ (这里的 $i$,$j$ 是指此时的头尾)。

定义 $f[i][j]$ 为当前的人采取最优策略得到的值，存的值为玩家一与玩家二的差值。

就可以得到转移方程:

$f[i][j]=max(f[i+1][j]+a[i],f[i,j-1]+a[j]])$ (如果当前是玩家一的话)

$f[i][j]=min(f[i+1][j]-a[i],f[i,j-1]-a[j]])$ (如果当前是玩家一的话)

可以通过当前 $i+j$ 的奇偶性来判断或者传一个参数来标记当前是谁选择。

然后因为是不断向中间逼近，所以这里采用自顶向下的记忆化搜索来写。

最后得到的答案 $f[1][n]$ 是玩家一和玩家二的差值。

假设玩家一的最终值为 $x$ ，玩家二的最终值为 $y$ 。

• 两个玩家的总和一定为全部元素之和: $x+y=sum$
• 玩家一和玩家二的差值: $x-y=f[1][n]$

通过两个公式就可以得到两个变量的具体值了。

实现:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105, Min = -1e9;
int a[N], n;
int f[N][N];
int dfs(int u, int i, int j)
{
    if (i == j)
    {
        if (u)
            return f[i][j] = a[i];
        else
            return f[i][j] = -a[i];
    }

    if (f[i][j] != Min)
        return f[i][j];

    if (u)
        f[i][j] = max(dfs(u ^ 1, i + 1, j) + a[i], dfs(u ^ 1, i, j - 1) + a[j]);
    else
        f[i][j] = min(dfs(u ^ 1, i + 1, j) - a[i], dfs(u ^ 1, i, j - 1) - a[j]);

    return f[i][j];
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        sum += a[i];
    }
    for (int j = 0; j <= n; j++)
        for (int k = 0; k <= n; k++)
            f[j][k] = Min;

    dfs(1, 1, n);
    int dif = f[1][n];
    int rex = (sum + dif) / 2;
    printf("%d %d\n", rex, sum - rex);
    return 0;
}

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本文作者：zxr
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