逆元 x

逆元:

丢线

1.首先定义:

　　若存在正整数a,x,m,且满足ax≡1(mod m),则称a是x的乘法逆元,或称x是a的乘法逆元.

Eg:

　　模7意义下,3的乘法逆元是5(或模7意义下,5的乘法逆元是3)

　　1）3*1%7=3%7=3   =/=1（x）

　　2）3*2%7=6%7=6   =/=1（x）

　　3）3*3%7=9%7=2   =/=1（x）

　　4）3*4%7=12%7=5 =/=1（x）

　　5）3*5%7=15%7=1 ==1 （√）

　　　　　　　　||

　　　　　　　　||

　　　　　　　　||

　　　　　　　　v

　　模7意义下,3的乘法逆元是5(或模7意义下,5的乘法逆元是3)

其他的求乘法逆元的方式与此类似。

 

2.乘法逆元存在性定理 

我们来考虑一下同余方程:

　　　　ax ≡ 1(mod m)

 

若a 与m 互质, 则一定存在一个正整数解x, 满足x < m.
若a 与m 不互质, 则一定不存在正整数解x.

意思也就是说, 互质与乘法逆元存在互为充要条件.

3.求法

　　①欧拉定理/费马小定理

• 　　3.1欧拉定理
  • 　　3.1.1欧拉定理公式：

　　　　　　　　　　　　a^φ(p) ≡ 1(mod p)

　　　　　　　　　　（是对于任意互质的a，p恒成立的）

• • 　　3.1.2推论

　　　　　　　　a*a^φ(p)-1 ≡ 1(mod p)

　　　　　　　　只有通过这个公式+快速幂才能够求逆元~

• • 　　3.1.3欧拉函数定义

　　　　　　　　欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数

　　　　　　　　　　Eg：φ(6)=2，φ(7)=6，φ(1)=1

　　　　　　　欧拉函数是一个数论函数, 也是一个积性函数, 可以线性筛出.

• 3.1.4欧拉函数公式：

　　　　若令n=∏^k_i=1 p_i ^c_i为n的质因子分解形式，则有

　　　　　　　　　　　　　 _^k 　 p_i-1

　　　　　　　　　　φ(n)=n∏  ----------

　　　　　　　　　　　　　ⁱ⁼¹    p_i

欧拉函数可以利用容斥原理在O(sqrt(n))的时间复杂度上界中求出

　　②线性求逆元

　　③拓展欧几里得

逆元一般用拓展欧几里得算法来求得，如果为素数（常用素数有:998244353,1000000007）,则经常根据费马小定理（用于降低题目的难度）得到逆元为

其推导过程如下：                

例：

求如下表达式的值（已知）（|为整除号）

           

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理!!!

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一种通用的求逆元方法，适合所有情况。

公式如下:

          

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

          

而对于(a/b)%m== 一个数

　　1.当m是素数的时候,根据费马小定理(不懂的可以去这儿看看),直接输出b^(n-2)即可

　　2.否则,就根据拓展欧几里得exgcd(b,m,x,y)

　　　　Ps:拓展欧几里得能够保证求出的x，y满足|x|+|y|最小

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>


using namespace std;
int a,b,m;
int x,y;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y),tmp;
    tmp=x,x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return r;
}

int fastpow(int a,int p)
{
    int bb=a;int ans=1;
    while(p!=0)
    {
        if(p%2==1)ans=ans*bb;
        bb=bb*bb;
        p=p/2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);
    for(int i=1;i<=sqrt(m);i++)
    {
        if(m%i==0)
        {
            int ans=exgcd(b,m,x,y);
            printf("%d",(a*ans)%m);
            return 0;    
        }
    }
    printf("%d",fastpow(b,m-2));
}