快速幂 x

快速幂！

模板如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>  
#define LL long long

using namespace std;

LL b,p,k;

LL fastpow(LL a,LL b)
{
    LL r=1;
    LL base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2!=0)//奇次幂 
        r=r*base;
        base=base*base;
        b=b/2;
    }
    return r;
}

LL fff(LL n,LL m)
{
    if(m == 0) return 1;

    LL t = fff(n,m /2);

    t = 1LL * t * t % k;
    if(m&1) t = 1LL * t * n % k;

    return t;  
}

LL mod_exp(LL a, LL b, LL c)        //快速幂取余a^b%c
{
    LL res,t;
    res=1%c; 
    t=a%c;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            res=res*t%c;
        }
        t=t*t%c;
        b>>=1;//就等价于b/2(位运算) 
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&b,&p,&k);
    LL tmpb=b;
    b%=k;//防止b太大 
      /* start 快速幂求得b^p */
    cout<<tmpb<<"^"<<p<<"="<<fastpow(b,p)<<endl;
      /* end 快速幂求得b^p */

      /* start 快速幂求得b^p%k */
    cout<<tmpb<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<mod_exp(b,p,k)<<endl;
          /* 方法一 end */

    cout<<tmpb<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<fff(b,p)<<endl;
          /* 方法二 end */
      /* end 快速幂求得b^p%k */
    return 0;
}

快速幂取模算法x

转载x

作者在后面x

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

先从简单的例子入手：求a^b % c = ?。

算法1、首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
    ans = ans * a;
ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

　　　　　　a^b%c = (a%c)^b%c

即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
    ans = ans * a;
ans = ans % c;

应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
    ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余
ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式，就不证明啦。

 

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：

　　1.如果b是偶数，我们可以记k = a2 mod c，那么求(k)b/2 mod c就可以了。

　　2.如果b是奇数，我们也可以记k = a2 mod c，那么求((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
    ans = (ans * k) % c;
ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。

但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c,所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。

当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。

于是便可以在O（log b）的时间内完成了。

于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
    if(b % 2 == 1)
    ans = (ans * a) % c;
    b = b/2;
    a = (a * a) % c;
}

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c)
{
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0)
    {
        if(b % 2 = = 1)
        ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
}
    return ans;
}

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。

　　希望本文有助于掌握快速幂算法的知识点，当然，要真正的掌握，不多练习是不行的。

再次强调，文转

By  夜せ︱深