数论

1.求素数：

1>普通方法

2>素数筛选法

3>Mliier_Rabbin素数测试

　　费马小定理。若 a^p-1 mod p = 1  ，则p有 3/4的概率是素数。

2.求aⁿ：

例如  a¹⁰=a⁵ * a⁵

　　　　a⁵ = a² * a² * a

　　　　　　a² = a¹ * a¹

3.求最大公约数GCD:

1> gcd(A,B) = gcd(B,A mod B);

__int64 GCD(__int64 a,__int 64 b){

　　if(b == 0){

　　　　return a;

　　}

　　return GCD(b,a mod b);

}

4.求 d = gcd(a,b) = ax + by

且 |x| + |y| 最小，求x,y

gcd(a,b) = ax + by

gcd(b,a mod b) = bx' + (a - [a/b]_向下取整 b)y'

　　　　　　　　= ay' + b(x' - [a/b]_向下取整 y')

　　y' = x

　　x' = y + [a/b]_向下取整 y'

 

　　x = y'

　　y = x' - [a/b]_向下取整 y'

5.唯一素数分解

　　n = p₁^k₁ p₂^k₂ ... p_m^k_m

6.欧拉函数：

　　与x互质切小于X的正整数个数

7.模线性方程 ax = b mod n

　　　　　　ax = ny + b

 　　　　　　

　　ax - ny = b

　　ax + by = d = gcd(a,b)

 

　　ax-ny = b          

　　gcd(a,n) = d    

　　若d能整除b

　　ax' + by'  = d

　　ax - ny = b

　　推出 ax'(b/d) + ny'(b/a) = b

　1>　有解 等价于 gcd(a,b)整除b

　2>   有gcd(a,n)个数的解

　3>   x₀ = x'(b/d)

　　　　x_i = x₀ + i * (n/d)