四种范数及其matlab代码实现

范数与条件数

矩阵范数（Matrix Norm）是用来衡量矩阵大小的一种数值量度。它有很多种定义方式，下面简要讲解四种常见的矩阵范数，以及对应的条件数（Condition Number）。

一阶范数（1-norm）：

一阶范数，也称为列和范数，是矩阵各列向量绝对值之和的最大值。对于一个m×n矩阵A，其一阶范数定义为：
‖A‖₁ = max(∑|aᵢⱼ|) （i从1到m，j从1到n）
条件数：K₁(A) = ‖A‖₁ · ‖A⁻¹‖₁

二阶范数（2-norm）：

二阶范数，也称为谱范数，是矩阵A的奇异值的最大值。对于一个m×n矩阵A，其二阶范数定义为：
‖A‖₂ = σ₁(A) （σ₁表示A的最大奇异值）
条件数：K₂(A) = ‖A‖₂ · ‖A⁻¹‖₂

无穷范数（∞-norm）：

无穷范数，也称为行和范数，是矩阵各行向量绝对值之和的最大值。对于一个m×n矩阵A，其无穷范数定义为：
‖A‖∞ = max(∑|aᵢⱼ|) （i从1到m，j从1到n）
条件数：K∞(A) = ‖A‖∞ · ‖A⁻¹‖∞

F范数（Frobenius norm）：

F范数，也称为弗罗贝尼乌斯范数，是矩阵各元素平方之和的平方根。对于一个m×n矩阵A，其F范数定义为：
‖A‖F = √(∑|aᵢⱼ|²) （i从1到m，j从1到n）
条件数：KF(A) = ‖A‖F · ‖A⁻¹‖F

范数的用途与求法

这里的条件数是用来衡量矩阵的病态程度，即矩阵对输入向量的扰动如何影响输出向量的扰动。条件数越大，矩阵越病态，数值计算可能出现较大误差。
各种矩阵范数有不同的用途，主要用于衡量矩阵的大小、稳定性和病态程度，以及在数值计算、优化问题和线性代数等领域的应用。

一阶范数（1-norm）：

一阶范数主要用于衡量矩阵列向量的大小。在某些优化问题中，使用1范数可以产生稀疏解。
MATLAB求解一阶范数：

A = [ ... ]; % 输入你的矩阵
norm_A_1 = norm(A, 1);

二阶范数（2-norm）：

二阶范数主要用于衡量矩阵的大小和稳定性。在机器学习和优化问题中，使用2范数可以得到平滑解。

A = [ ... ]; % 输入你的矩阵
norm_A_2 = norm(A, 2);

无穷范数（∞-norm）：

无穷范数主要用于衡量矩阵行向量的大小。在某些优化问题中，使用∞范数可以得到特定性质的解。

A = [ ... ]; % 输入你的矩阵
norm_A_inf = norm(A, inf);

F范数（Frobenius norm）：

F范数主要用于衡量矩阵整体元素的大小。在矩阵近似、压缩和机器学习中经常使用F范数。

A = [ ... ]; % 输入你的矩阵
norm_A_F = norm(A, 'fro');

对应的条件数可以使用MATLAB的cond函数求解：

A = [ ... ]; % 输入你的矩阵
cond_A_1 = cond(A, 1);
cond_A_2 = cond(A, 2);
cond_A_inf = cond(A, inf);
cond_A_F = cond(A, 'fro');