poj 1222 EXTENDED LIGHTS OUT 高斯消元法
http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1222
题意：有一个5*6的方阵，每个位置都表示按钮和灯，1表示亮，0表示灭。每当按下（i，j）时，（i，j）和（i-1，j）、（i+1，j）、
（i，j-1）（i，j+1）都会改变，亮的变灭，灭的变亮；问在这样的一个方阵中按下哪些按钮可以把整个方阵都变成灭的，这时1表示按了，
0表示没按。
此题也可以用枚举来写：http://iiacm.net/2010/07/pku-1222-extended-lights-out/
转载分析：这个游戏的名字叫做Lights Out。一个板子上面有MxN个按钮，按钮也是灯。每次按下一个按钮，这个按钮和它的上下左右相邻按钮将同时切换各自的亮灭状态。给你一个初始状态，请给出一种方法，按某些按钮，使得所有的灯都灭。
这个游戏有一些技巧：
1、按按钮的顺序可以随便。
2、任何一个按钮都最多需要按下1次。因为按下第二次刚好抵消第一次，等于没有按。
这个问题可以转化成数学问题。
一个灯的布局可以看成一个0、1矩阵。以3x3为例：
0 1 0
1 1 0
0 1 1
表示一个布局。其中0表示灯灭，1表示灯亮。
每次按下按钮（POJ1222）或者叫一个宿舍关灯（0998），可以看成在原矩阵上加（模2加，就是按位异或）上一个如下的矩阵：
0 1 0
1 1 1
0 1 0
上述矩阵中的1表示按下第2行第2列的按钮时，作用的范围。如果按左上角的按钮，就是：
1 1 0
1 0 0
0 0 0
我们记L为待求解的原始布局矩阵。A(i,j)表示按下第i行第j列的按钮时的作用范围矩阵。在上述例子中，
L=
0 1 0
1 1 0
0 1 1
A(1,1)=
1 1 0
1 0 0
0 0 0
A(2,2)=
0 1 0
1 1 1
0 1 0
假设x(i,j)表示：想要使得L回到全灭状态，第i行第j列的按钮是否需要按下。0表示不按，1表示按下。那么，这个游戏就转化为如下方程的求解：
L + x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = 0
其中x(i,j)是未知数。方程右边的0表示零矩阵，表示全灭的状态。直观的理解就是：原来的L状态，经过了若干个A(i,j)的变换，最终变成0:全灭状态。
由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成：
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L
这是一个矩阵方程。两个矩阵相等，充要条件是矩阵中每个元素都相等。将上述方程展开，便转化成了一个9元1次方程组：
简单地记做：AA * XX = LL
这个方程有唯一解：
x(1,1) x(1,2) x(1,3)
x(2,1) x(2,2) x(2,3)
x(3,1) x(3,2) x(3,3)
=
1 1 1
0 0 0
0 0 1
也就是说，按下第一行的3个按钮，和右下角的按钮，就
能使L状态变成全灭状态。
对于固定行列的阵列来说，AA矩阵也是确定的。是否存在解，解是否唯一，只与AA矩阵有关。对于唯一解的情形，只要将LL乘以AA的逆矩阵即可。具体求AA的逆矩阵的方法，可以用高斯消元法。
由于是0、1矩阵，上述方程也可以写成：
将1式两边同时加上一个L矩阵就可以变成
x(1,1)*A(1,1) + x(1,2)*A(1,2) + x(1,3)*A(1,3) + x(2,1)*A(2,1) + ... + x(3,3)*A(3,3) = L
A（1，1）把矩阵 转化为一个列向量，L也转化为一个列向量，
将sigma xi*Ai=Li 对应位置的值相等就可以建立方程组了
X1*A(1,1)1+X2*A(1,2)1+X3*A(1,3)1+…………X30*A(30,30)1=L1; mod 2
X1*A(1,1)2+X2*A(1,2)2+X3*A(1,3)2+…………X30*A(30,30)2=L2; mod 2
X1*A(1,1)3+X2*A(1,2)3+X3*A(1,3)3+…………X30*A(30,30)3=L3 mod 2
…….
…….
…….
X1*A(1,1)30+X2*A(1,2)30+X3*A(1,3)30+…………X30*A(30,30)30=L30; mod 2
其中A(i,j)k 表示列向量A中第K个元素
这里的*表示点乘，Xi取(1,0) +表示模2加法，所以在高斯消元的时候可以用^异或运算
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01.#include<iostream>
02.using namespace std;
03.int map[35][35];
04.int ans[35];
05.int Gauss() //高斯消元法
06.{
07. int i, j, k, r;
08. for(k=0; k<30; k++)
09. {
10. i = k;
11. while(i<30 && map[i][k]==0) i++;
12. if(i > k)
13. {
14. for(r=0; r<=30; r++)
15. swap(map[i][r], map[k][r]);
16. }
17. for(i=0; i<30; i++)
18. {
19. if(i != k && map[i][k])
20. {
21. for(j=0; j<=30; j++)
22. map[i][j] ^= map[k][j]; //高斯消元的^异或运算；
23. }
24. }
25. }
26. /*for(i=0; i<30; i++)
27. {
28. for(j=0; j<30; j++)
29. printf("%d",map[i][j]);
30. printf("\n");
31. }*/
32. for(i=0; i<30; i++) //求出结果；
33. if(map[i][30])
34. {
35. for(j=0; j<30 && !map[i][j]; j++) ;
36. if(j == 30) return 0;
37. else
38. ans[j] = map[i][30];
39. }
40. return 1;
41.}
42.int main()
43.{
44. int i,j,k,kn,km,kx,ky,t;
45. scanf("%d",&t);
46. for(k=1; k<=t; k++)
47. {
48. memset(map, 0, sizeof(map));
49. for(i=0; i<30; i++)
50. {
51. scanf("%d", &map[i][30]);
52. ans[i] = 0;
53. }
54. /*for(i=0; i<30; i++) //这个也是构造方程的，但是不知道为什么错了；
55. {
56. map[i][i] = 1;
57. if(i % 6 != 1) map[i-1][i] = 1;
58. if(i % 6 != 0) map[i+1][i] = 1;
59. if(i >= 6) map[i-1][i] = 1;
60. if(i <= 23) map[i+6][i] = 1;
61. }*/
62. for(i=0; i<30; i++) //构造30个方程
63. {
64. kn = i / 6;
65. km = i % 6;
66. for(j=0; j<30; j++)
67. {
68. kx = j / 6;
69. ky = j % 6;
70. if(abs(kx - kn) + abs(ky - km) <= 1)
71. map[i][j] = 1;
72. else
73. map[i][j] = 0;
74. }
75. }
76. /*for(i=0; i<30; i++)
77. {
78. for(j=0; j<30; j++){
79. printf("%d", map[i][j]);}
80. printf("\n");
81. }*/
82. Gauss();
83. printf("PUZZLE #%d\n",k);
84. for(i=0; i<30; i++)
85. {
86. printf("%d", ans[i]);
87. if((i+1) % 6 == 0)
88. printf("\n");
89. else
90. printf(" ");
91. }
92. /// printf("\n");
93. }
94. return 0;
95.}
#include<iostream>
using namespace std;
int map[35][35];
int ans[35];
int Gauss() //高斯消元法
{
int i, j, k, r;
for(k=0; k<30; k++)
{
i = k;
while(i<30 && map[i][k]==0) i++;
if(i > k)
{
for(r=0; r<=30; r++)
swap(map[i][r], map[k][r]);
}
for(i=0; i<30; i++)
{
if(i != k && map[i][k])
{
for(j=0; j<=30; j++)
map[i][j] ^= map[k][j]; //高斯消元的^异或运算；
}
}
}
/*for(i=0; i<30; i++)
{
for(j=0; j<30; j++)
printf("%d",map[i][j]);
printf("\n");
}*/
for(i=0; i<30; i++) //求出结果；
if(map[i][30])
{
for(j=0; j<30 && !map[i][j]; j++) ;
if(j == 30) return 0;
else
ans[j] = map[i][30];
}
return 1;
}
int main()
{
int i,j,k,kn,km,kx,ky,t;
scanf("%d",&t);
for(k=1; k<=t; k++)
{
memset(map, 0, sizeof(map));
for(i=0; i<30; i++)
{
scanf("%d", &map[i][30]);
ans[i] = 0;
}
/*for(i=0; i<30; i++) //这个也是构造方程的，但是不知道为什么错了；
{
map[i][i] = 1;
if(i % 6 != 1) map[i-1][i] = 1;
if(i % 6 != 0) map[i+1][i] = 1;
if(i >= 6) map[i-1][i] = 1;
if(i <= 23) map[i+6][i] = 1;
}*/
for(i=0; i<30; i++) //构造30个方程
{
kn = i / 6;
km = i % 6;
for(j=0; j<30; j++)
{
kx = j / 6;
ky = j % 6;
if(abs(kx - kn) + abs(ky - km) <= 1)
map[i][j] = 1;
else
map[i][j] = 0;
}
}
/*for(i=0; i<30; i++)
{
for(j=0; j<30; j++){
printf("%d", map[i][j]);}
printf("\n");
}*/
Gauss();
printf("PUZZLE #%d\n",k);
for(i=0; i<30; i++)
{
printf("%d", ans[i]);
if((i+1) % 6 == 0)
printf("\n");
else
printf(" ");
}
/// printf("\n");
}
return 0;
}
首先，我们可以把6*5个灯组成的矩阵看成是一个1*30的向量a 。
然后，对于每一个开关 i ，我们也构造一个1*30的向量d（i），一个开关最多控制5个灯，其中开关状态改变则为1，不改变就为0，这样我们可以把30个开关的向量组成一个30*30的矩阵。
我们在构造一个30*1的向量ans，也就是我们要求的结果，ans[ i ]为1，表示需要按下第 i个开关，0表示不需要。这样ans*d=a（mod 2），（d 是30*30 的矩阵）就转化为解方程的问题了。
至于解方程，就没什么可说的了，就是用线代里面讲的方法就可以了。因为这里要模2，所以可以我们可以直接用计算机的异或运算。
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