题解 P2505 [HAOI2012]道路

分析

对于图中每两个可形成一条路径的点之间，都会有它们的最短路，题目所求的就是对于给出的 \(m\) 条道路，有多少最短路经过该道路。

可以知道这不是一次搜索就可以做到的，因为它会在搜索过程中不断更改最短路，于是我们考虑在确定起点的情况下，它到各点的最短路经过了哪些路径。

我们以 \(f_i\) 表示从起点到该点的最短路长度，于是可以知道，对于每一条路径，如果起点的 \(f\) 值加上道路长度等于终点的 \(f\) 值，那么就说明至少有一条最短路经过了该边，那么有多少条呢？我们用两个数组来解决这个问题。

首先，在找出所有满足条件的路径之后，我们用 \(cntq\) 来表示这些路组成的图中以该点为起点的路有多少，用 \(cntm\) 来表示以该点为终点的，因此对于每一条满足条件的路径，终点需加上起点的 \(cntm\)，起点需加上终点的 \(nctq\)。为了保证累加的正确性，我们再采用拓扑排序，正向计算 \(cntm\)，反向计算 \(cntq\)。最后对于每一条路径，加上的次数自然就是起点的 \(cntm\) 乘上终点的 \(cntq\) 了，这样此题就解决了。

另外，本题用 \(dijkstra\) 有一个点会超时，\(spfa\) 是可行的，但两个都挂上了，仅供参考。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,head[1501],vis[1501],flag[5001],f[1501],cnt,ans[5001],sum[1501],cntm[1501],cntq[1501];
const int mod=1e9+7;
struct node{
	int to,w,fr,next;
}a[5001];
void read(int &res){
	char c;
	res=0;
	c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')res=(res<<1)+(res<<3)+c-48,c=getchar();
}
priority_queue<pair<int,int> > q;
/*
inline void dijkstra(int qq){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(flag,0,sizeof(flag));
	memset(f,127,sizeof(f));//有一个想法是memset太多了，也不确定 
	f[qq]=0;
	q.push(make_pair(0,qq));
	while(q.size()){
		int x=q.top().second;q.pop();
		if(vis[x])continue;
		vis[x]=1;
		for(register int i=head[x];i;i=a[i].next){
			int v=a[i].to;
			if(f[v]>f[x]+a[i].w){
				f[v]=f[x]+a[i].w;
				q.push(make_pair(-f[v],a[i].to));
			}
		}
	}
	for(register int i=1;i<=m;++i){
		if(f[a[i].fr]+a[i].w==f[a[i].to])flag[i]=1;
	}
}
*/

int que[10001],len;

inline void spfa(int qq) {
    memset(f,127,sizeof(f));
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    f[que[len=1]=qq]=0;
    for (register int i = 1; i <= len; i++) {
        int x=que[i];vis[x]=0;
        for (register int i=head[x];i;i=a[i].next){
        	int v=a[i].to;
            if(f[x]+a[i].w<f[v]){
            	f[v]=f[x]+a[i].w;
            	if(!vis[v])vis[que[++len]=v]=1;
			}
		}
    }
    for(register int i=1;i<=m;++i){
		if(f[a[i].fr]+a[i].w==f[a[i].to])flag[i]=1;//满足条件，进行标记 
	}
}

int qu[1501],tot;
inline void topu(int qq){
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	memset(cntm,0,sizeof(cntm));
	memset(cntq,0,sizeof(cntq));
	for(register int i=1;i<=m;++i)if(flag[i])sum[a[i].to]++;
	cntm[qq]=1;
	qu[tot=1]=qq;
	for(register int i=1;i<=tot;++i){
		int x=qu[i];
		for(register int i=head[x];i;i=a[i].next){
			if(!flag[i])continue;
			int v=a[i].to;
			if(!--sum[v])qu[++tot]=v;
			cntm[v]=(cntm[v]+cntm[x])%mod;
		}
	}
	for(register int i=tot;i;i--){
		int x=qu[i];cntq[x]++;
		for(register int i=head[x];i;i=a[i].next){
			if(!flag[i])continue;
			cntq[x]=(cntq[x]+cntq[a[i].to])%mod;
		}
	}
}

inline void sol(int qq){
	spfa(qq);topu(qq);
	for(register int i=1;i<=m;++i){
		if(flag[i])ans[i]=(ans[i]+1ll*cntm[a[i].fr]*cntq[a[i].to]%mod)%mod;
	}
}

inline void add(int qq,int mm,int l){
	a[++cnt].fr=qq;
	a[cnt].next=head[qq];
	head[qq]=cnt;
	a[cnt].to=mm;
	a[cnt].w=l;
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,j;
		read(x);read(y);read(j);
		add(x,y,j);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)sol(i);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		printf("%d\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}