BZOJ 1025: [SCOI2009]游戏 背包DP

1025: [SCOI2009]游戏

Description

windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。 如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 3 1 2 4 5 6 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6 3 1 2 5 4 6 1 2 3 4 5 6 这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

Input

包含一个整数，N。

Output

包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

【输入样例一】
3
【输入样例二】
10

Sample Output

【输出样例一】
3
【输出样例二】
16

HINT

 

【数据规模和约定】

100%的数据，满足 1 <= N <= 1000 。

 

Source

题解：

　　　　　　　　　　首先根据置换群可得

 

　　　　　　　　　　排数=lcm{Ai,Ai表示循环节长度},∑i=1kAi=n排数=lcm{Ai,Ai表示循环节长度},∑i=1kAi=n

 

　　　　　　　　　　根据lcm的定义，分解质因数拆掉Ai=px11×px22×...×pxkkAi=p1x1×p2x2×...×pkxk后

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　lcm=∏ipmax{xi}ilcm=∏ipimax{xi}

 

　　　　　　　　　　所以我们只看max{xi}max{xi}即可，即忽略掉≤max{xi}≤max{xi}的其它因子。所以问题等价于：

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∑ipxii≤n∑ipixi≤n

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的方案数。

然后随便dp即可

设d(i,j)d(i,j)表示前ii个质数和为jj的方案，有

 

d(i,j)=d(i−1,j)+∑kd(i−1,j−pki)

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e4+10, M = 30005, mod = 1e9 + 7, inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;

ll H[N],dp[2][N],p[N];
void solve(int n) {
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!H[i]) {
            p[++cnt] = i;
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i) H[j]=1;
        }
    }
    dp[0][0]=1;
    int now = 1, last = 0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++) {
        for(int j=0;j<=n;j++) {
            dp[now][j] = dp[last][j];
            for(int k = p[i];j-k>=0;k*=p[i]) dp[now][j]+=dp[last][j-k];
        }
        for(int j=0;j<=n;j++) dp[last][j]=0;
        now^=1;
        last^=1;
    }
    ll ans = 0;
    for(int i=0;i<=n;i++) ans+=dp[last][i];
    cout<<ans<<endl;
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    solve(n);
}