AT 经典90题（031-060）

31.VS AtCoder

考虑 sg 函数，每次异或上 $(w_i,b_i)$ 的 sg 函数看最后是不是 $0$ 即可。注意 $b$ 那一位的上界为 $1500$ 而不是 $50$。

32.AtCoder Ekiden

考虑全排列枚举跑步顺序并判断不合法即可。

33.Not Too Bright

先特判 $n$ 或 $m$ 为 $1$ 的情况。对于其他情况答案就是 $\lceil \frac{n}{2}\rceil \times \lceil \frac{m}{2}\rceil$。

34.There are few types of elements

考虑使用双指针，如果 $r$ 能右移就右移。最后把所有这样的区间长度取最大值即可。

35.Preserve Connectivity

经典结论，先把给出的点按照 dfn 排序。求的东西就是 ${\displaystyle \sum _{i=1}^k(de{p}_{v_i})-\sum _{i=2}^k(de{p}_{lca(v_{i-1},v_i)})-de{p}_{lca(v_1,v_k)}}$。

36.Max Manhattan Distance

直接曼哈顿转切比雪夫，然后答案就是当前的点的 $x$ 和 $x$ 的极值做差的绝对值和当前的点的 $y$ 和 $y$ 的极值做差的绝对值的较大值。

37.Don't Leave the Spice

考虑朴素背包 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个物品花费 $j$ 香料的最大收益，发现朴素转移会超时。不难发现每次转移是从一段连续的区间的最大值。这个东西显然可以使用线段树维护。于是转移的时候直接再线段树里查询最大值即可。

38.Large LCM

比较 $\lfloor \frac{{10}^{18}}{\frac{a}{gcd(a,b)}}\rfloor$ 和 $b$ 的大小即可。如果使用了浮点数注意浮点数会有误差。

39.Tree Distance

考虑换根 dp，先算出 $1$ 到其他点的距离之和。然后尝试把根换成儿子，再算一下这个点到其他点的距离之和。不难发现若根从 $u$ 换到 $u$ 的儿子 $j$，那么假设 $f_i$ 表示点 $i$ 到其他点的距离之和，则 $f_j=f_u+n-si{z}_j\times 2$。

答案就是 $f$ 之和的一半。

40.Get More Money

我们设源点为 $0$，汇点为 $n+1$。只需在网络流中连边 $(0,i,a_i),(i,n+1,m),\mathrm{\forall }j\le k_i,(c_{i,j},i,inf)$，这里 $m$ 是原题中的 $w$，反边的边权全部为 $0$。然后答案就是 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i}$ 减去这张图的源点到汇点的最小割。

割掉源点连出边的意义是不去这个点，割掉一个点到汇点的边的意义是这条边要选，所以要花费 $m$。割掉钥匙边为 $inf$ 的原因是只有拿到钥匙才能到达这个点，所以这条边不能割。

41.Piles in AtCoder Farm

考虑毕克定理，$S=n+\frac{l}{2}-1$。于是我们考虑算出 $S$ 和 $n$。

不难发现连出的图形一定是一个凸包，凸包的 $S$ 和 $l$ 都是好求的。求出来之后直接代入公式算出 $n$。最后答案就是 $l+n-N$。

42.Multiple of 9

首先 $k$ 不是 $9$ 的倍数答案为 $0$。然后设 $f_i$ 表示 $k=i$ 时的答案，转移 ${\displaystyle f_i=\sum _{j=1}^9{f}_{i-j}}$，注意这里不能越界。答案就是 $f_k$。

43.Maze Challenge with Lack of Sleep

考虑每个点有一个状态 $(x,y,k)$ 表示当前再 $(x,y)$，面朝 $k$。于是发现可以建出图，直接跑最短路即可。

44.Shift and Swapping

直接使用 deque 模拟这一过程即可。注意 deque 的下标从 $0$ 开始。

45.Simple Grouping

考虑状压 dp，设 $f_{i,j}$ 表示集合为 $j$ 的部分分成 $i$ 组的答案。不难发现答案就是 $f_{k,2^n-1}$。转移就是对于 $j$ 的子集 $s$，$f_{i,j}=min(f_{i,j},max(f_{i-1,j-s},va{l}_s))$，其中 $va{l}_s$ 表示把 $s$ 集合划分造成的贡献。

46.I Love 46

考虑本质不同的数再每个序列中至多出现 $46$ 种。于是枚举每个序列种出现的是哪种数。简单把数量乘起来求个和即可。

47.Monochromatic Diagonal

不难发现如果这一条对角线合法，等价于 $s$ 的前缀与 $t$ 的后缀相同。但是，会出现 $B+B$ 等价于 $R+G$ 的情况。

设 $R$ 值为 $0$，$G$ 值为 $1$，$B$ 值为 $2$。我们对于 $i$ 为 $0/1/2$，将 $t_j\leftarrow (i-t_j+3)mod3$。然后用哈希判 $s$ 有几个前缀和 $t$ 的后缀相同，$s$ 有几个后缀和 $t$ 的前缀相同（注意不要重复）。这个东西的和就是答案。

分类讨论一下即可证明上面的操作是对的。

48.I will not drop out

考虑把 $a_i-b_i$ 和 $b_i$ 都插入到一个数组里，然后排序取前 $k$ 大即可。

49.Flip Digits 2

经典套路，对于每个区间连一条 $l-1$ 到 $r$ 边权为 $c$ 的边，然后跑最小生成树即可。这里每条边代表这两个点的值可以不同花费的代价。

50.Stair Jump

设 $f_i$ 表示上到第 $i$ 格的方案数，则有转移 $f_i\leftarrow f_{i-1}+f_{i-l}$，初始 $f_0=1$。注意 $i<l$ 时认为 $f_{i-l}$ 为 $0$。

51.Typical Shop

考虑把序列拆成两半考虑，算出前一半用 $i$ 个能凑出什么，后一半用 $i$ 个能凑出什么，用 vector 记录一下。然后枚举前一半选什么，二分后一半有多少种合法选法即可。

52.Dice Product

不难发现答案为每个骰子上的数的和的乘积，注意取模即可。

53.Discrete Dowsing

考虑使用黄金分割法求出单峰函数的极值，具体可以搜索一下这个东西，这里只做简要介绍。大致就是每次显然可以判断出一部分区间不再合法，把不合法那边的端点挪到另一个端点上，然后重复这一过程。

54.Takahashi Number

把每个人与所在论文连一条边权为 $1$ 的边。于是每个点的答案就是到 $1$ 的距离的一半（不连通即为无解）。

55.Select 5

暴力枚举选哪 $5$ 个位置即可。

56.Lucky Bag

考虑设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个物品能否凑出 $j$，$g_{i,j}$ 表示当 $f_{i,j}$ 为 $1$ 时他从什么转移。于是输出方案暴力向回跳即可。

57.Flip Flap

我们使用高斯消元法求出拼出该状态最少需要多少开关，剩下的都是自由元。然后先把无解判掉，否则每个自由元都可以选或不选，答案就是 $2$ 的自由元数量次方。

58.Original Calculator

不难发现变化过程是一条链加一个环，只需把在环上走的步数对环长取模即可。

59.Many Graph Queries

考虑到每次处理一个询问太慢，且图是有向无环的，于是每次处理 $64$ 个即可。

60.Chimera

我们设 $i$ 为峰，显然可以找出 $i$ 结尾的 LIS 长度和 $i$ 开始的 LDS 长度，答案就是对于所有 $i$ 这两个东西的加和减去 $1$ 的最大值。至于长度，使用树状数组优化即可快速求出。