一堆比赛题

T1

题意简述：给定一个序列 $a$ ，每次将当前 $a$ 的第一个元素加入 $b$ 的末尾然后翻转 $b$ ，然后删除 $a$ 的第一个元素，求最后的 $b$ 是什么。 $n \leq 10^{6}$ 。

考虑模拟一下这个过程，发现就是奇数次向最后添加，偶数次向开头添加，最后再翻转 $n mod 2$ 次，时间复杂度 $O (n)$ 。

T2

题意简述：定义两点的距离为 $| x_{i} - x_{j} |^{3} + | y_{i} - y_{j} |^{3}$ 。现在给定 $n$ 个点，保证坐标两两不同。接下来添加 $q$ 条边，每条边连接 $a, b$ 长度为 $c$ 。现在求初始状态和添加每条边后图的最小生成树。 $n \leq 3000, q \leq 5000, - 50000 \leq x_{i}, y_{i} \leq 50000, c \leq 2 \times 10^{15}$ ，保证添加的边合法且不会构成自环。

首先发现带个 $\log$ 复杂度会很危险。于是我们先使用朴素 $p r i m$ 求出原图最小生成树并找出最小生成树上的边。接下来对于每条添加的边，用 $b f s$ 找出两点间的边权的最大值，并看加上这条新边断掉这条最长的边是否更优，如果是就把原来的那条边替换掉，否则维持原状。时间复杂度 $O (n^{2} + n q)$ 。

T3

题意简述：定义两个序列 $a, b$ 的权值为 $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - b_{i})^{2}$ 。现在可以任意次数交换 $a$ 中的两个元素。求 $a, b$ 的最小权值以及达到最小权值的最小交换次数。 $n \leq 3 \times 10^{5}, 1 \leq a_{i} ， b_{i} \leq 10^{9}$ ，保证 $a$ 中元素两两不同， $b$ 中元素两两不同。

考虑一对 $(i, j)$ 满足 $a_{i} > a_{j}$ 且 $b_{i} < b_{j}$ ，考虑交换前后的贡献分别为 $a_{i}^{2} + b_{i}^{2} - 2 a_{i} b_{i} + a_{j}^{2} + b_{j}^{2} - 2 a_{j} b_{j}$ ， $a_{i}^{2} + b_{j}^{2} - 2 a_{i} b_{j} + a_{j}^{2} + b_{i}^{2} - 2 a_{j} b_{i}$ ，做差得到： $2 a_{i} (b_{j} - b_{i}) - 2 a_{j} (b_{j} - b_{i}) = 2 (a_{i} - a_{j}) (b_{j} - b_{i}) > 0$ ，故交换后更优，于是把 $a$ 按照 $b$ 的顺序放置即可。接下来我们把要交换的数分成两类：一个是两个数放反，另一个是不满足第一类的。显然后一类的每次交换至多归位 $1$ 个。于是我们按照顺序尝试交换，如果这个数正好跟交换对象是反的，那么交换了 $2$ 个，显然优；否则每次归位了 $1$ 个，达到了上界，也是优的。于是我们直接按顺序交换就是对的，时间复杂度 $O (n \log n)$ 。

T4

题意简述：对于一个 $k \times k$ 的方阵，其中 $k$ 可能是任意正整数， $a_{i, j}$ 代表 $(i, j)$ 上的数。如果其满足以下要求，则称其为魔法阵： $a_{i, j} \geq m$ ；方阵两条对角线上的数的和不超过 $n$ ；从方阵中选出 $k$ 个格子，这些格子两两不同列且两两不同行，所有选法的 $a_{i, j}$ 之和相同。求有多少个魔法阵。 $T$ 组测试数据， $1 \leq T \leq 50, 1 \leq n, m \leq 10^{5}$ 。

结论：考虑对第 $i$ 行赋值一个自然数 $x_{i}$ ，第 $j$ 列赋值一个自然数 $y_{j}$ ，令 $a_{i, j} = x_{i} + y_{j}$ ，那么 $a$ 构成的方阵一定是魔法阵。接下来我们只需考虑对这个东西计数。不难发现对于一个状态，如果 $x$ 全部减去 $1$ ， $y$ 全部加上 $1$ ，构成的方阵完全相同，也就是计算会重复。所以我们要求 $min (x_{i}) = 0$ 即可，因为减去 $1$ 导致出现负数不合法，加上 $1$ 最小值不是 $0$ 不合法。此时 $a_{i, j} \geq m$ 就是 $min (y_{j}) \geq m$ ，然后将所有 $y_{j}$ 减去 $m$ 。就变成了将至多 $n - k \times m$ 个石头分成 $2 \times k$ 个部分，且前 $k$ 个部分至少有一个为空的方案数。先不考虑后面这部分的要求，方案数即为 $(\binom{n - k \times m + 2 \times k}{2 \times k})$ ，因为 $(\binom{n - k \times m + 2 \times k - 1}{2 \times k - 1})$ 代表恰好 $n - k \times m$ 个石头分成 $2 \times k$ 个部分，我们多用一个板，代表把这个板左边的东西扔掉。然后只需要减掉 $(\binom{n - k \times m + k}{2 \times k})$ ，其实就是先拿 $k$ 个填到前面，然后对剩下的东西分组。最后的答案就是 $\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n - k \times m + 2 \times k}{2 \times k}) - (\binom{n - k \times m + k}{2 \times k})$ 。时间复杂度 $O (T n)$ 。