左偏树
左偏树
可以发现左偏树的别名叫可并堆，就是可合并的堆。于是我们的主要操作便是合并。
我们定义外节点为左儿子或右儿子至少有一个为空的节点。我们定义外节点的 \(dist\) 为 \(1\)，其余点的 \(dist\) 为到其子树内最近的外节点的距离加上 \(1\)。
左偏树是一棵二叉树，首先其具有堆的性质，并且它是左偏的，每个节点的左儿子的 \(dist\) 都不小于右儿子的 \(dist\)。
然后说一下 \(dist\) 的作用，首先是让树左偏，然后左偏又可以保证合并的复杂度。大概原因是每次合并右边，而右边的 \(dist\) 级别是 \(\log\) 的，每次合并少一层，所以复杂度是 \(\log\) 的。
注意：左偏树的深度没有保证。
考虑类似于线段树合并的过程，合并两棵树时，比方说一个节点是 \(x\)，另一个节点是 \(y\)。如果这俩有一个是 \(0\)，那么直接返回另一边，这个过程与其他带合并的东西是一样的。
然后就是因为是小根堆，所以我们把权值更小的那个放在上面，另一个合并到右儿子即可。
合并完了之后，我们就要维护左偏的性质，考虑如果不满足，则交换左右儿子即可。最后维护一下 \(d\) 即可。
部分代码：
int merge(int x,int y){
if(x==0||y==0)return x+y;
if(a[x]>a[y])swap(x,y);
tr[x].r=merge(tr[x].r,y);
if(tr[tr[x].l].d<tr[tr[x].r].d)swap(tr[x].l,tr[x].r);
tr[x].d=tr[tr[x].r].d+1;
return x;
}
然后就是删除最小数，显然因为维护的是小根堆，所以删除的一定是堆顶，于是我们合并堆顶的两个儿子即可。
最后就是一些细节，拿一个数组记录一下这个数被删过没有，用来处理一些特殊情况，例如输出 -1。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 100005
using namespace std;
int n,m,fa[N];
bool st[N];
struct node{
int id,val;
bool operator>(const node &t)const{
if(val==t.val)return id>t.id;
return val>t.val;
}
}a[N];
struct tree{
int l,r,d;
}tr[N];
int find(int x){
return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int merge(int x,int y){
if(x==0||y==0)return x+y;
if(a[x]>a[y])swap(x,y);
tr[x].r=merge(tr[x].r,y);
if(tr[tr[x].l].d<tr[tr[x].r].d)swap(tr[x].l,tr[x].r);
tr[x].d=tr[tr[x].r].d+1;
return x;
}
signed main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i].val;
fa[i]=a[i].id=i;
}
while(m--){
int op,x,y;
cin>>op>>x;
if(op==1){
cin>>y;
if(st[x]||st[y])continue;
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy)fa[fx]=fa[fy]=merge(fx,fy);
}
else{
if(st[x])cout<<"-1\n";
else{
int fx=find(x);
cout<<a[fx].val<<'\n';
st[fx]=1;
fa[tr[fx].l]=fa[tr[fx].r]=fa[fx]=merge(tr[fx].l,tr[fx].r);
tr[fx].l=tr[fx].r=tr[fx].d=0;
}
}
}
return 0;
}
派遣
首先我们假设确定了选择的根节点，那么我们显然要优先选择花费更少的点去产生贡献。所以，我们根据花费建出一个大根可并堆，然后依次删除根直到堆被删空或者剩下的点的花费和不超过 \(m\)。
接下来每次合并父亲上的左偏树与儿子上的左偏树，类似一个动态规划的过程，然后就做完了。
左偏树的合并与删除堆顶都在上一道题有所提及，这里就不过多赘述了。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 100005
#define M 200005
using namespace std;
int n,m,c[N],p[N],rt[N],res;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
void add(int a,int b){
e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
struct node{
int l,r,d,cost,sum,siz;
}tr[N];
void pushup(int u){
tr[u].sum=tr[tr[u].l].sum+tr[tr[u].r].sum+tr[u].cost;
tr[u].siz=tr[tr[u].l].siz+tr[tr[u].r].siz+1;
}
int merge(int x,int y){
if(!x||!y)return x+y;
if(tr[x].cost<tr[y].cost)swap(x,y);
tr[x].r=merge(tr[x].r,y);
if(tr[tr[x].l].d<tr[tr[x].r].d)swap(tr[x].l,tr[x].r);
tr[x].d=tr[tr[x].r].d+1;
pushup(x);
return x;
}
int split(int x){
return merge(tr[x].l,tr[x].r);
}
void dfs(int u,int fa){
tr[u]={0,0,0,c[u],c[u],1};
rt[u]=u;
for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(j==fa)continue;
dfs(j,u);
rt[u]=merge(rt[u],rt[j]);
}
while(tr[rt[u]].sum>m&&tr[rt[u]].siz!=0){
rt[u]=split(rt[u]);
}
res=max(res,tr[rt[u]].siz*p[u]);
}
signed main(){
cin>>n>>m;
memset(h,-1,sizeof h);
for(int i=1;i<=n;i++){
int fa;
cin>>fa>>c[i]>>p[i];
add(fa,i);add(i,fa);
}
dfs(1,0);
cout<<res;
}
