1.3 前缀和与差分

激光炸弹

算法：前缀和。

这里假设读者已经学会了二维前缀和，并且其推导是相对简单的，这里直接给出这道题的做法：

我们考虑地图最大只有 \(5001\times 5001\)，所以在 \(r\) 大于 \(5001\) 时大于的那部分是无意义的。

我们记录每个位置的宝藏数量，然后做一个前缀和，接着用前缀和 \(O(1)\) 计算出每个 \(r\times r\) 的矩形的贡献，取最大值即可。

增减序列

算法：差分。

我们考虑对原序列做出差分序列 \(b_i\)。那么，我们就是需要把 \(b_2\sim b_n\) 都变成 \(0\)。

那么每次操作是什么呢，选择一个差分数组加一，再选择一个减一。也就是说，我们看差分序列的绝对值，把值为正的的绝对值之和设为 \(p\)，值为非正的的绝对值之和设为 \(q\)。这样我们第一问的答案就是 \(\max(p,q)\)。

其实，这里就是我们先把正的和负的进行消除，剩下的部分与没有影响的 \(b_1,b_{n+1}\) 相消。

下面设 \(c=\operatorname{abs}(p-q)\)。

接下来考虑第二问，根据上文所述，最后会剩下 \(\operatorname{abs}(p-q)\) 的值要跟 \(b_1\) 或者 \(b_{n+1}\) 消除，那么对于每个值，我们都可以选择跟哪一个，故对于这两种选择，可能的数量为：\((0,c),(1,c-1),\cdots,(c,0)\)，共 \(c+1\) 种方案，故 \(b_1\) 有 \(\operatorname{abs}(p-q)+1\) 种取值。

而根据差分序列的特性，\(b_1\) 在这道题中就是序列最后的值，故可能有 \(\operatorname{abs}(p-q)+1\) 种不同的序列。

最高的牛

我们这里先假设所有给出的 \((a,b)\) 两两不同，再想一想有没有什么好做法。

比较显然地，对于每次给出的 \((a,b)\)，我们可以对区间 \([a+1,b-1]\) 内的数减一，这个操作可以用差分简单地维护。

再回到这道题，数对是可能重复的，所以我们判断一下这个数对是否出现过，可以使用 \(map\) 或者哈希。

总结一下，一开始假设所有位置都是最大高度，然后按照上文说的进行区间减一即可。