1.2 递推与递归
递归实现指数型枚举
算法：递归。
一道板子题，用一个 \(vector\) 维护选的数即可，递归时递归选这个数和不选这个数即可。
当然我们有另外一个写法，用一个 \(n\) 位二进制数的每一位表示每个数选或不选，输出时如果这一位是 \(1\) 就代表选，要输出。
递归实现组合型枚举
算法：递归。
和上一道题差不多，仍然还是看这个数选或不选，只不过要看一下是否出现：
-
当前选的数已经超过 \(m\) 个。
-
即使后面的数都选也凑不够 \(m\) 个。
然后就排除了不合法的解，剩下的都是合法的解。
递归实现排列型枚举
算法：递归。
仍然是比较简单的一道题，考虑用一个数组记录每个数是否已经用过，没有的话考虑这一位用这个数，并标记一下即可。
当然，我们可以使用自带的 next_permutation 函数，这样更加方便。
费解的开关
算法：二进制枚举。
考虑一个暴力，我们枚举每一位看是否要操作。然后操作每一位。
但是你会发现，这样枚举加上操作，显然是会超时的，所以我们要考虑优化。
如果我们只枚举第 \(1\) 行呢？那么我们每次只需要枚举 \(2^5\) 次即可。而对于后面的行，如果第 \(1\) 行操作完了，我们看第 \(2\) 行有哪些不合法，操作这个格子即可，这样我们的效率就是可以接受的了。
所以这样以此类推，枚举第 \(1\) 行的操作，然后依次推出下一行的操作，记录最小操作次数即可。
奇怪的汉诺塔
算法：递推。
做这道题，首先要知道在 \(3\) 塔的情况下的最小步数，这里直接给出这个广为人知的结论：设 \(d_n\) 表示 \(n\) 盘 \(3\) 塔的最小步数，则 \(d_n=2\times d_{n-1}+1,d_0=0\)。
接下来我们要想的问题就变成了，如何把 \(3\) 塔情况推广到 \(4\) 塔情况？
我们首先可以进行转化：先把 \(i\) 个盘子在 \(4\) 塔情况下移动到第二个柱子，然后我们可以假定第二个柱子不存在，把剩下的盘子在 \(3\) 塔情况下移动到最后一个柱子，再把刚才放到第二个柱子上的盘子移动到最后一个柱子上。
我们形式化的说，设 \(f_n\) 表示 \(n\) 盘 \(4\) 塔的最小步数，所以有：\(f_n=\min(2\times f_i+d_{n-i})\)，于是递推一下就做完了。
约数之和
算法：数学，分治。
我们在这里提及两个方法，数学法和分治法，其中主要介绍一下分治法。
数学法比较好说，我们找出这个数的所有质因数 \(p_1,p_2,\cdots,p_k\)。只需要计算 \((1+p_1+\cdots+p_1^{k_1})\times \cdots \times (1+p_k+\cdots+p_k^{c_k})\)。
我们使用等比数列求和公式就可以比较轻松的计算出每个式子，最后相乘即可。
你以为就这么简单？这样做有一个坑点，因为等比数列的公式是要除以 \(p_i-1\) 的，这个东西可能不能转化为逆元计算，所以在不能转化为逆元时需要特判，直接把答案乘上 \(c_i+1\) 即可。
下面说一下分治法，我们考虑用数学计算的那个式子怎么用分治法计算，考虑拆一下式子：
设 \(1+p+p^2+\cdots+p^{k-1}=sum(p,k)\)。
第一种情况，k为偶数：
\(sum(p,k)=1+p^1+\cdots+p^{\frac{k}{2}-1}+p^{\frac{k}{2}}+\cdots+p^k-1\)。
\(=1+p+\cdots+p^{\frac{k}{2}-1}+p^{\frac{k}{2}}\times (1+p+\cdots+p^{\frac{k}{2}-1})\)。
\(=(p^{\frac{k}{2}}+1)\times (1+p+\cdots+p^{\frac{k}{2}-1})\)。
\(=(p^{\frac{k}{2}}+1)\times sum(p,\frac{k}{2})\)。
否则如果 \(k\) 为奇数，转化成 \(sum(p,k-1)+p^{k-1}\) 即可。
与是这样的时间复杂度我们就可以接受了，不过在计算形如 \(p^k\) 的式子需要时用快速幂，否则仍然会超时。
分形之城
算法：分形。
我们首先观察一下等级 \(1\) 到等级 \(2\) 的转移规律，规律相对来说是显然的，只有翻转和旋转的操作。
为了方便表示，设 \(n\) 为当前级别，平移长度 \(len=2^{n-1}\)。
我们这里写一下坐标的变换：
左上角：\((x,y)\rightarrow(y,x)\)。
右上角：\((x,y)\rightarrow(x,y+len)\)。
右下角：\((x,y)\rightarrow(x+len,y+len)\)。
左下角：\((x,y)\rightarrow(len\times 2-y-1,len-x-1)\)。
这里可以发现，\(n-1\) 级别图共有 \(cnt=2^{2\times n-2}\) 个城市，而 \(m\) 号城市所在块的编号为 \(\lfloor\dfrac{m}{cnt}\rfloor\)(\(0\) 为左上，\(1\) 为右上，\(2\) 为右下，\(3\) 为左下)。设 \(m\) 号城市在 \(n\) 级城市中，那么它在 \(n-1\) 级城市中的编号为 \(idx=m\bmod cnt\)。
所以我们在递归时记录当前城市级别及其编号还有所属块，即可一步步确定该城市在每一级城市中的坐标，把所有的坐标合到一起就可以算出来两个城市的坐标，直接求距离即可。
