1.1 位运算

a^b

算法：快速幂。

考虑一些经典的分类讨论：

• \(b\) 为奇数，此时分解为 \(a^{\frac{b-1}{2}}\times a^{\frac{b-1}{2}}\times a\)。

• \(b\) 为偶数，此时分解为 \(a^{\frac{b}{2}}\times a^{\frac{b}{2}}\)。

我们的边界为 \(a\)，因为这是已经给出的。

所以我们发现，每次 \(b\) 会减少一半，时间复杂度 \(O(log b)\)，在 \(b\le 10^9\) 时可以轻松通过。

增加模数

算法：快速幂。

先考虑暴力枚举，\(b_i\) 的极限是 \(10^7\)，所以我们要进行 \(4.5\times 10^{13}\) 次运算，这是一定会超时的，所以考虑优化。

发现 \(b_i\) 数据范围很大，于是考虑用快速幂优化，对于 \(a_i^{b_i}\) 这样的式子可以快速计算，这样时间复杂度是 \(O(Tmlog b)\)，可以通过。

64位整数乘法

算法：龟速乘。

发现 \(a\times b\) 显然会爆 \(long\) \(long\)，所以我们有 \(2\) 种方案：

• 使用高精度，但这样不够优美。

• 使用龟速乘。

我们可以把 \(a\) 加上 \(b\) 次，比较显然地，\(b\) 可以被拆成一个二进制数，我们把二进制是 \(1\) 的位加上即可。

具体地，每次把当前的数乘 \(2\)，判断 \(b\) 的二进制表示中第 \(i\) 位是不是 \(1\)，如果是 \(1\)，答案加上 \(2^i\times a\)，这里可以每次把 \(a\) 乘 \(2\) 并取模，就不会爆掉了。

时间复杂度 \(O(log b)\)，可以轻松通过。

最短Hamilton路径

算法：状态压缩，动态规划。

这里先提出一种新的动态规划分析方式：

我们把一个状态看作一个集合，既然是集合，里面就有元素，我们根据题目的要求把这个状态的数组记为这个集合的一个特殊值(例如：最大值，最小值，总和，数量之类的)，就是属性。

接下来分析一下状态，\(f_{i,j}\) 表示所有从 \(0\) 走到 \(j\)，走过点的二进制表示为 \(i\) 的路程的最小值。

然后想一想怎么转移，我们可以枚举 \(j\) 的上一个点记为 \(k\)，所以 \(f_{i,j}\) 可以由 \(f_{i-2^j,k} + a_{k,j}\) 转移而来，即转移方程为 \(f_{i,j}=\min(f_{i,j},f_{i-2^j,k} + a_{k,j})\)。

起床困难综合症

算法：位运算。

首先有一个小性质，每一位的运算结果与其他位无关，于是可以按位贪心。

我们如果让第 \(i\) 位的结果为 \(1\)，后面的位全是 \(0\)；或者反过来，比较简单地，可以发现前一种的结果更优，所以我们要优先让高位为 \(1\)。

对于第 \(i\) 位，我们尝试当前的 \(m\) 能不能支持我们填 \(1\)，无论是否可以，跑一遍 \(n\) 扇门，看看填 \(1\) 是否比填 \(0\) 优，我们设填的数为 \(x\)，\(x\) 使得当前答案未超过 \(m\)，就是合法，并且尽可能使这一位的答案为 \(1\)，然后 \(m\leftarrow m-2^i\times x\)。

这样就可以得出每一位的答案，进而算出最终答案。