Hungary

　　Hall定理：设二部图中G=<V₁,V₂,E>中|V₁|=m<=|V₂|=n，G中存在从V₁到V₂的完备匹配当且仅当V₁中任意k(k=1,2,...,m)个顶点至少与V₂中k个顶点相邻（相异性条件）。

　　证明：

　　（必要性）显然成立。

　　（充分性）反证法。设G中不存在完备匹配，取G的一个最大匹配M，则V₁中至少有一个点不在M上，且该点必至少与一条不在M中的边相连，该边的另一个顶点若也为M-非饱和点，则与M为最大匹配矛盾，若另一个顶点为M-饱和点，则考察在M中与该顶点相邻的点，利用饱和点去考察在M中相邻的饱和点（交错地考察，即交错地通过M中的边和非M中的边），直至考察完毕，由相异性条件知，最后必考察至非饱和点，此时出现一条增广路，又与假设矛盾，故充分性成立。

　　Hall定理的一个推论：设二部图中G=<V₁,V₂,E>中|V₁|=m<=|V₂|=n，V₁中每个顶点至少关联正整数t条边，V₂中每个顶点至多关联t条边（t条件），则G存在从V₁到V₂的完备匹配。

　　证明：因V₁中任意k个顶点至少关联kt条边（kt条边至少关联V₂中的k条边），故V₁中任意k(k=1,2,...,m)个顶点至少与V₂中k个顶点相邻，即得到相异性条件，得证。

　　Hungary算法：Hungary算法基于Hall定理中充分性证明的思想。对于二部图中G=<V₁,V₂,E>中|V₁|=m<=|V₂|=n，设M为最大匹配，此时，若将M-非饱和点及其关联的边删去，则可得到从V₁到V₂的完备匹配，又由Hall定理的充分性可知，由一个非最大匹配出发，必可找到一条增广路，在有限次数后即可达到完备匹配。大致的步骤为：(1)置M为空集；(2)不断寻找增广路直至达到最大匹配，此步可由V₁中的点1,2,...,m依次寻找增广路得到。

　　对(2)后半句的简要证明：

　　先进入点1，显然可以通过寻找增广路得到最大匹配；假设进入前k>=1个点后命题成立，则当进入点k+1，可利用Hall定理充分性证明的思想证明若最大匹配数改变，则必能找到一条增广路，反之则必找不到：从这个点出发，找到未用边，考察这个未用边的另一个点，若该点为非饱和点，则找到增广路，若为饱和点则通过其相连的点继续寻找未用边，最后的情况只有两种，一是最后找到增广路，二是最后到达饱和点而无未用边，这种情况下，从点k+1开始的任意偶数段取反，无论何种情况，必留下一个V₁中的点，故在这种情况下（找不到增广路），最大匹配数不改变，即命题成立。综上所述，命题成立。

　　具体算法代码以后依旧以后补充。。（越来越水了。。）