待证明-ZOJ 3576

　　m,n为正奇数且互质，在[1,m*n]上的m*n个正整数中，有m*n-1个正整数或为m的倍数或为n的倍数。将这m*n-1个数升序排序，记为a[1],a[2],...,a[m+n-1]。另设b，其中b[i]=(-1)^i*(a[i]-a[i-1])（a[0]=0，i=1,2,...,m+n-1）。

　　求证：sigma(b[i])=-1（i=1,2,...,m+n-1）。

　　例：m=3,n=5时，a[1]=3,a[2]=5,a[3]=6,a[4]=9,a[5]=10,a[6]=12,a[7]=15，b[1]=-3,b[2]=2,b[3]=-1,b[4]=3,b[5]=-1,b[6]=2,b[7]=-3，sigma(b[i])=-1。

　　时隔一年，重看此题，貌似想出来怎么证明了！这几天慢慢补上！

　　首先来看以下等式：

　　等式易由数学归纳法得到，下面阐述命题与等式奇数情况的等价性。

　　设d，其中d[i]=a[i]-a[i-1]（a[0]=0，i=1,2,...,m+n-1），共有正奇数个，并且对称(1)。

　　不失一般性，假设m<n（当m=n时m=n=1，此时命题得证），此时可将d分为n个m，其中有些m则被一分为二（若分得的数目大于二，则会m>n），d中存在的数共有m种（1,2,...,m），除m外的m-1个数共出现两次（因为对称性）(2)，剩下的m相隔偶数（m被分割后的数目必为偶数），故不影响其sgn值。

　　以上为大致的证明，具体(1)(2)的证明等下次继续……