Wythoff Game

　　【威佐夫博弈】

　　有两堆物品，分别有物品数a与b（a, b∈N*），有两人A与B轮流从这两堆里去物品。取法有两种：①从其中一堆中取至少一个物品；②从每一堆取相同个数的物品（每堆至少取一个）。规定先取光物品者胜（即最后面对无物品可取者输）。求必输的条件。

　　[解答]

　　在N上考虑。设A面对(a[n], b[n])（a[n]<=b[n]）必输（称(a[n], b[n])为奇异局势）。这里的a[n]与b[n]关于n严格单调递增，定义为以a[n]为第一关键字b[n]为第二关键字不重复递增排序。显然当a[0]=b[0]=0，即A面对(0, 0)时A必输。下面讨论当n∈N*时（此时a[n]<b[n]）的情况。

　　首先证明a[n]为前n个奇异局势（奇异局势从第0个开始）中没有出现过的自然数（每个奇异局势有两个数）。

　　若a[n]=a[m]（m<=n-1且∈N），则b[n]>b[m]。A只需从b堆中取b[n]-b[m]个物品可使B面对奇异局势(a[n]=a[m], b[m])，不满足。

　　若a[n]=b[m]（m<=n-1且∈N），则b[n]>a[n]=b[m]>=a[m]。A只需从b堆中取b[n]-a[m]个物品可使B面对奇异局势(a[m], a[n]=b[m])，不满足。

　　由此得到第1个奇异局势为(1, 2)（即a[1]=1且b[1]=2）。

　　下面证明当x为前n个奇异局势中没有出现过的最小自然数，y=x+n时，(x, y)为奇异局势（即第n个奇异局势(a[n], b[n])的构造）。

　　第二数学归纳法。当n=1时显然成立。

　　当n>=2且∈N时，若b[n]<a[n]+n，设b[n]=a[n]+m（m<=n-1且∈N*），A只需每堆取a[n]-a[m]=b[n]-b[m]个物品，使B面对奇异局势(a[m], b[m])，不满足。说明第n个奇异局势>=(x, y)。

　　另一方面，面对(x, y)，无论A怎么取都无法使B面对前n个奇异局势；而B能使A取后的局势重新让A面对奇异局势（只证明当A把y的那一堆取走若干后剩下的物品个数=z<x的情况）：z<=x-1且∈N，z必在前n个奇异局势中出现过。（形势一）若在b堆出现，则B必可以从x堆中取若干物品使A重新面对奇异局势；（形势二）若在a堆出现（设此时奇异局势(a[m], b[m])（m<=n-1且∈N）），则又分下列两种情况。

　　①x>b[m]。与形势一相似。

　　②a[m]=z<x<b[m]=a[m]+m（m>=2)。此时0<=x-z<=m-1，必可用第二种取法使A重新面对奇异局势（为前m个奇异局势的其中之一）。

　　故(x, y)为奇异局势。

　　综上所述，a[0]=0，a[0]=0，当n∈N*时，a[n]为前n个奇异局势中没有出现过的最小自然数；b[n]=a[n]+n。