动态规划求解01背包问题
目录很重要^。^
01背包类问题说明
传统的背包问题：
存在N件物品与承载重量为W的背包，每件物品都有自己的重量w与价值v。
每件物品只能用一次，要求计算出挑选这些物品装入背包能获得的最大价值总和。
抽象一点来说就是：
一堆物品，对于这些物品中的每一个你分别选与不选？
不选就为0，丢了！选了就为1，装包！最后达成某个目的。
01背包问题求解
dp数组含义
01背包类问题，属于动态规划，因此我们设一个dp数组来求解。
dp数组是一个二维数组，你可能有点搞不清楚这是从哪跳到哪了，但是没关系，很多东西都是先背再用，首先最重要的是先把dp[i][j]的含义背下来：
dp[i][j]含义：
从下标为 0~i 的个物体中任意取后放入容量为 j 的背包中的最大价值总和。
从下标为 0~i 的个物体中任意取后放入容量为 j 的背包中的最大价值总和。
从下标为 0~i 的个物体中任意取后放入容量为 j 的背包中的最大价值总和。
重要的问题强调3遍，背下来！！
dp数组递推公式
把上面的含义背下来后我们可以来学习递推方程了。
前面说过，对于每一件物品我们将决定它是放还是不放。
假设我们已经从下标为 0 的物品递归到下标为 i 的物品了。对于这个物品，我们到底是放还是不放？
那么我们将目光锁定在下标为 i 的物品，在容量为j的情况下：
1.如果不放：那么能得到的最大价值是多少？那肯定等于前面 0 ~ i-1 个物品能产生的最大价值呗。
2.如果放：想一下，我们已经把第 i 个放进去了，那么留给前面第 0 ~ i-1 个物品的空间就不多了（国足梗，嘿嘿），剩下的空间容量就为 j - w[i] 。所以能得到的最大价值就是 i 的价值加上剩下的空间里0 ~ i-1 这些物品能凑出的最大价值。
综合两种情况，dp[i][j]的值就是放或不放两种情况的最大值，得到递推公式：
dp[i][j] = Math.max( dp[i-1][j] , dp[i-1][j-w[i]] + v[i] )
到了这里，可以给出dp数组的视图了。
以及dp[i][j]的图：
因此，这也决定了我们的求dp数组值的遍历顺序：
从左至右，从上至下。最后dp数组右下角的值就是我们要求的最佳值。
dp数组初始化
有了递推方程，我们只需把前面的数值初始化然后就可以遍历得到后面的值了。
从递推方程中可以看出某个点的值，都是由其左上方推出来的，那么就需要初始化上面第一排，跟左边第一列了。
对于左边第一列，意思是背包容量为0时怎么装？那肯定都装不进去呗，都为0。
对于上面第一排，表示只有下标为0的物品时，背包容量不断扩大，所以是从某一容量（这一容量也就是物品0的重量了）起，物品0都被装的进去。
01背包例题
问题：
力扣
https://leetcode-cn.com/problems/last-stone-weight-ii/
分析：
本文重点在01背包问题，至于怎么将问题转化为01背包问题的思路，直接借鉴大佬的思路
解法：
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
//从控制台读入数据，可以不管，只需知道最后得到nums数组即为石头的重量
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int nums[] = new int[n];
int sum = 0;
for(int i = 0;i < n;i++) {
nums[i] = sc.nextInt();
sum += nums[i];
}
sc.close();
//dp数组初始化
int[][] dp = new int[nums.length][sum/2+1];
for(int j = 0;j < sum/2+1;j++) {
if(j >= nums[0]) dp[0][j] = nums[0];
}
for(int i = 1;i < nums.length;i++) {
for(int j = 1;j < sum/2+1;j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j >= nums[i]){
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-nums[i]]+nums[i]);
}
}
}
System.out.print(Math.abs(sum - dp[nums.length-1][sum/2] - dp[nums.length-1] [sum/2]));
}
}
01背包变形
问题来了，怎么看出它是01背包问题变形的？
1.商品不允许重复。
2.每个商品要么选，要么不选。
那递推方程是什么呢？
dp[i][j] = sum( dp[i-1][j], dp[i-1][i-v[i]] )
那怎么初始化呢？
例如：
注意第一排，因为我们要总价为X，也就是说要刚刚好X，所以只有总价为0时和总价为第一个物品价格时初始化为1，其他初始化为0。
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int X = sc.nextInt();
int M = sc.nextInt();
int[] nums = new int[M];
for(int i = 0;i < M;i++) {
nums[i] = sc.nextInt();
}
sc.close();
int[][] dp = new int[M][X+1];
dp[0][0] = 1;
for(int i = 0;i < X+1;i++) {
if(i == nums[0]) {
dp[0][i] = 1;
}
}
for(int i = 1;i < M;i++) {
for(int j = 0;j < X+1;j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j >= nums[i]) dp[i][j]+=dp[i-1][j-nums[i]];
}
}
if(dp[M-1][X] != 0) {
System.out.println(dp[M-1][X]);
}else {
System.out.println(-1);
}
}
}
以上是目前我对01背包问题的总结，肯定有不足之处哈，见谅~
你的背包，背到现在还没烂~
你的背包，让我走得好缓慢~
