等差数列平方和公式

2024.08.23 Update:很不幸，两道题的k次方和哈希做法均已被hack

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因为想把P3792哈希做法贺到P5278去，但是不知道等差数列平方和怎么求啊！所以就有了这篇记录。

搜到的要么是错的要么看不懂，只能自己推一个看看了~

设 \(a\) 为数列首项，\(d\) 为公差，\(n\) 为项数

则原数列可表示为

\(a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2\)

拆项得

\(a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 4ad + 4d^2) + (a^2 + 6ad + 9d^2)+...+(a^2+2(n-1)ad + (n-1)^2d^2)\)

此处规律就较为明显了，可化为

\(na^2 + (2+4+...+2(n-1))ad +(1^2+2^2+...+(n-1)^2)d^2\)

使用等差数列求和+平方和公式，可得等差数列平方和公式为：

\(S=na^2+n(n-1)ad+\frac{n(n-1)(2n-1)d^2}{6}\)