2025.2.13 日记

合集 - 日记(1)

1.2025.2.13 日记02-13

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首先引入 左极限 和 右极限 的概念。

左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值。——百度百科

右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值。——百度百科

定义 $f(x)=\frac{1}{x}$，上图为 $f$ 的函数图像。

有了左右极限的定义，可以用以下形式表达。

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }$$

左右极限不等，双侧极限显然不存在。

定义 $g(x)=\frac{1}{x^2}$，上图为 $g$ 的函数图像。

有了上面的例子，很好表示 $g$ 的左右极限。

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }$$

当左右极限都存在且相等时， 双侧极限 存在。

我们可以说

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}=\mathrm{\infty }$$

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这里引入 垂直渐进线 的定义。

$f$ 在 $x=a$ 处有一条垂直渐近线说的是，$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$$ 和 $$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$中至少有一个式子的值为 $\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$。