二项式定理

前言

所有能力都很弱，考虑先补补数学。

因为这些内容 lmx 两年前左右就全都会了，那我就当一个蒟蒻写一写，提高一下熟练度 qwq

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正文

对于 $n\in \mathbb{R},m\in \mathbb{Z}$，有 广义二项式系数（其实就是组合数）

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\{\begin{array}{cc}\frac{n(n-1)\cdots (n-m+1)}{m!}& m\ge 1\\ 1& m=0\\ 0& m\le -1\end{array}$$

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然后是 二项式定理。

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-i}{b}_i$$

考虑使用经典的数学归纳法来证明。

首先，当 $n=0$ 时，上式显然成立。

已知 $\mathrm{\forall }k\in [0,n-1]$ 满足条件，即

$$(a+b{)}^k=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})a^{k-i}{b}_i$$

考虑如下证明：

$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^n& =(a+b{)}^{n-1}(a+b)\\ & =(a+b)\times \sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})a^{n-i-1}{b}^i\\ & =a\times \sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})a^{n-i-1}{b}_i+b\times \sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})a^{n-i-1}{b}^i\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})a^{n-i}{b}^i+\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})a^{n-i-1}{b}^{i+1}\\ & =\sum _{i=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})a^{n-i}{b}^i+\sum _{i=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})a^{n-i}{b}^i\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{0})a^n{b}^0+\sum _{i=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})a^{n-i}{b}^i+\sum _{i=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})a^{n-i}{b}^i+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{n-1})a^0{b}^n\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})a^n{b}^0+\sum _{i=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-i}{b}^i+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})a^0{b}^n\\ & =\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-1}{b}^i\end{array}$$

证毕。

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对上式进行推广，得到 广义二项式定理。

对于 $n\in \mathbb{R},0\le |a|<b$，有：

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^i{b}_{n-i}$$

证明略。

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接下来说一些基本的应用。

计算平方根

这里假设我们要计算 $z+1$ 的平方根，也就是 $(z+1{)}^{\frac{1}{2}}$，可以考虑将 $z=\frac{x}{y}$ 代入上式。（$x,y$ 均与上式定义相同）

$$\begin{array}{rl}(z+1{)}^{\frac{1}{2}}& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{i})z^i\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k\times 2^{2k-1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-2}{k-1})z^i\\ & =1+\frac{2}{z}-\frac{1}{2\times 2^3}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})z^2+\frac{1}{3\times 2^5}(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})z^3-\cdots \end{array}$$

这种方法可以很轻松地控制精度。