数学笔记

定义一个形如 $x=a+bi$ 的数为复数。
上式中的 $i$ 为虚数单位，有 $i\cdot i=-1$。

• 两个复数 $x$ 和 $y$ 相等，当且仅当 $x_a=y_a$ 且 $x_b=y_b$。

• 对于一个复数 $x$，我们称 $a$ 为 $x$ 的实部，$b$ 为 $x$ 的虚部。

• 当 $a=0$ 时，称 $x$ 为纯虚数。

• 容易发现，复数可以用数对 $(a,b)$ 的形式表现出来。若将 $(a,b)$ 看作平面直角坐标系上的一个点，全体复数可以一一对应。

• 将平面直角坐标系的横坐标视为实部，纵坐标视为虚部，此时这个具有与复数一一对应关系的平面叫做复平面。

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• 定义复数 $x=a_1+b_{1}i$ 和 $y=a_2+b_{2}i$ 的加法。

$$x+y=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$$

容易证明，复数加法满足交换律。

• 定义复数 $x=a_1+b_{1}i$ 和 $y=a_2+b_{2}i$ 的乘法。

$$x\cdot y=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+b_1{a}_2)i$$

容易证明，复数乘法满足交换律。

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记 $-x=(-1)\cdot x$，因此 $x-y=x+(-1)\cdot y$。

具体的，令复数 $z=a+bi$，其中 $a=-1,b=0$，那么就有了如下的定义。

• 定义复数 $x=a_1+b_{1}i$ 和 $y=a_2+b_{2}i$ 的减法。

$$\begin{array}{rl}x-y& =x+(-1)\cdot y\\ & =x+z\cdot y\\ & =x+(-a_2)+(-b_2)i\\ & =(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i\end{array}$$

容易发现，复数的加减法就和以下一个过程相同。

在复平面上，原点 $(0,0)$ 和 $(a_1,b_1)$ 表示的数 $x$ 构成一个向量 $\overrightarrow{A}$。
同理，原点 $(0,0)$ 和 $(a_2,b_2)$ 表示的数 $y$ 构成一个向量 $\overrightarrow{B}$。
我们对向量 $\overrightarrow{A}$ 和 $\overrightarrow{B}$ 作向量加减法。

用较为严谨的语言表示：

复数加减法与复平面上的向量加减法相对应。

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定义一个复数 $x$ 的 模长 $|x|$ 为其实部与虚部的平方之和的算术平方根（其实就是复平面上点 $x$ 到原点的欧几里得距离）。

形式化来说，

$$|x|=\sqrt{a^2+b^2}$$

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定义复数 $x$ 和 $y$ 的 距离 $d(x,y)=|x-y|$，可以发现以下性质。

• $d(x,y)\ge 0$，当 $d(x,y)=0$ 时，$x=y$。
• $d(x,y)=d(y,x)$。
• $d(x,y)+d(x,z)>d(y,z)$。

我们称满足以上三个性质的 $(\mathbb{C},d)$ 为一个 度量空间。

容易证明，$|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$。

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复数 $x=a+bi$ 可以被表示为 $r(\cos \theta +\sin \theta \cdot i)$ 的形式，且表示方法唯一。

我们将这样的表示方法称为 三角表示。

上图为复数 $x=a+b_i$ 在复平面上的三角表示。

其中，$r$ 即为 $x$ 的 模长。

定义上图中的角度 $\theta$ 为 $x$ 的 幅角。容易发现，$x$ 的幅角有无限个，但在 $(-\pi ,\pi ]$ 的范围内只有一个。将这个唯一的值称为 幅角主值，表示为 $\theta =\arg (x)$。

设复数 $x=r_1(\cos {\theta }_1+\sin {\theta }_1\cdot i)$，$y=r_2(\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_2\cdot i)$。

有：

$$\begin{array}{rl}xy& =r_1{r}_2(\cos {\theta }_1+\sin {\theta }_1\cdot i)(\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_2\cdot i)\\ & =r_1{r}_2[(\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)+(\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2)]\\ & =r_1{r}_2[\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\cdot i]\end{array}$$

由于复数的乘法和除法互为逆运算，故两个复数之商（第二个复数非零）的模长为两个复数模长之商，辐角为两个复数辐角之差。