labeled tree的个数
labeled tree的个数
前置知识：
结论：
\(n\)个不同的点可以构成\(n^{n-2}\)棵不同的树(labeled tree).
推导过程：
完全图的Laplace矩阵带入定理一
无向完全图的邻接矩阵(n*n)：
\[\begin{matrix}
0&1 &\cdots & 1&1\\
1 & 0 &\cdots& 1 &1\\
\vdots&\vdots&\ddots &\vdots& \vdots\\
1 & 1 & \cdots& 0&1\\
1 &1 & \cdots & 1&0
\end{matrix}
\]
无向完全图Deg(G)=diag(n-1,n-1,...,n-1)
Laplace(n*n)
\[\begin{matrix}
n-1&-1 &\cdots & -1&-1\\
-1 & n-1 &\cdots& -1 &-1\\
\vdots&\vdots&\ddots &\vdots& \vdots\\
-1 & -1 & \cdots& n-1&-1\\
-1 & -1 & \cdots & -1&n-1\\
\end{matrix}
\]
\[用矩阵树定理一，易得,任意一个点为根的树的个数M_{11}=n^{n-2}\\
n个不同的点可以构成n^{n-2}棵不同的树\quad(labeled\quad tree).
\]
参考链接：
https://oi-wiki.org/graph/matrix-tree/
