[题解][2022年江西省大学生程序设计竞赛] Graphic Game

题目描述

Cirno被推荐了一个游戏，她决定今天和大妖精一起玩。最初，有一个包含2 × n个顶点和m条边的图。在每一轮中，Cirno和大妖精都必须选择一个不同的顶点。所选顶点的度数必须相同。然后，Cirno和大妖精将从图中移除它们。
现在Cirno想知道是否有办法从给定的图中移除所有顶点。如果存在，请给出一个例子。

题解

该题有2 * n个顶点，一定能删完。
为什么一定能删完？可以通过反证法：设不能删完，剩余2 * x个点，且每个点的度数各不相同。
由于最大度数不可能超过2 * x - 1，那么2 * x个点的度数就是0，1，2，...，2 * x - 1。
观察到有一个点的度数为2 * x - 1 ，则剩余所有点都与这个点有边；但有一个点度数为0，则剩余所有点都与这个点无边。
二者自相矛盾。此种情况不存在。所以一定有解，且解与删除顺序无关。
考虑一个时间复杂度较优的解法：可以通过set维护度数，每次删除度数最大的两个点。时间复杂度稳定在O(nlogn)。

代码

点击查看代码

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int N=2e6+7;
	int n,m,en=0,h[N],du[N];
	struct Edge{
		int v,nxt;
	}e[N<<1];
	set<int>s[N<<1];
	void adde(int u,int v){
		e[++en].v=v,e[en].nxt=h[u],h[u]=en;
	}
	int main(){
		ios::sync_with_stdio(0);
		cin.tie(0);
		cout.tie(0);
		cin>>n>>m;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int u,v;
			cin>>u>>v;
			adde(u,v),adde(v,u);
			du[u]++,du[v]++;
		}
		for(int i=1;i<=n*2;i++)s[du[i]].insert(i);
		int t=m;
		while(t>=0){
			if(s[t].size()>=2){
				int x=*s[t].begin();
				s[t].erase(x);
				int y=*s[t].begin();
				s[t].erase(y);
				cout<<x<<" "<<y<<"\n";
				du[x]=du[y]=0;
				for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt){
					int v=e[i].v;
					if(du[v]>0){
						s[du[v]].erase(v);
						du[v]--;
						s[du[v]].insert(v);
					}
				}
				for(int i=h[y];i;i=e[i].nxt){
					int v=e[i].v;
					if(du[v]>0){
						s[du[v]].erase(v);
						du[v]--;
						s[du[v]].insert(v);
					}
				}
			}
			else t--;
		}
		return 0;
	}