机器学习十讲（四）
模型误差的来源
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训练集D={xi,yi}ni=1D={xi,yi}i=1n由函数ff产生
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假设空间HH中理论上最好的函数为fˆf^
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用训练集DD得到的函数为f∗=argmaxf∈HL(w)f∗=argmaxf∈HL(w)
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逼近误差：模型空间与ff的距离
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估计误差：训练到的函数与模型空间最好的函数的距离
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假设单个分类器误差pp分类器之间独立，TT个分类器采用投票进行预测，得到集成模型HH
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集成分类器误差为
e(H)=∑k≤T2ckTpT−k(1−p)ke(H)=∑k≤T2cTkpT−k(1−p)k
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T=5,p=0.1T=5,p=0.1，e(H)≤0.01e(H)≤0.01，用五个90%的模型组合起来就能上升到99.9%（相互独立）
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核心问题：如何选择节点属性和属性分割点？
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不纯度：表示落在当前节点的样本类别分布的均衡程度
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节点分裂后，节点不纯度应该更低（类分布更不均衡）
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选择特征及对应分割点，使得分裂前后的不纯度下降最大
随机森林：独立思考的重要性
- 最典型的BaggingBagging算法：“随机”是其核心，“森林”意在说明它是通过组合多棵决策树来构建模型
- 主要特点：
- 对样本进行有效放回抽样
- 对特征进行随机抽样
- 应用场景广泛：例如市场营销、股票市场分析、金融欺诈检测、基因组数据分析和疾病风险预测
- 算法流程
- 输入：训练集DD，特征维度dd，随机选取的特征数mm，决策树算法hh，树的数量TT
- fort=1,...,Tfort=1,...,T
- 从训练集DD中有放回地抽样nn个样本，记为子集DtDt
- 从dd个特征中随机选取mm个特征
- 使用决策树算法，使用DtDt中选择的mm个特征训练一棵决策树ht(x)ht(x)
- 输出：分类：H(x)=majority_vote({ht(x)}Tt=1)H(x)=majority_vote({ht(x)}t=1T)；回归：H(x)=1T∑Tt=1ht(x)H(x)=1T∑t=1Tht(x)
- 假设单棵决策树的方差为σ2(x)σ2(x)，任意两颗决策树之间的相关性为ρ(x)ρ(x)，随机森林一共由TT棵决策树组成，则集成的随机森林模型的方差var(x)var(x)为
var(x)=ρ(x)σ2(x)+1−ρ(x)Tσ2(x)var(x)=ρ(x)σ2(x)+1−ρ(x)Tσ2(x)
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AdaBoostAdaBoost基本思想：通过改变样本权重串行地训练多个基分类器
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每个基分类器带权重样本集下进行训练
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根据其在训练样本中的加权误差来确定基分类器模型的权重
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后一个分类器更加关注前一个分类器分错的样本
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算法流程
- 初始化样本权重w0=(1n,...,1n)w0=(1n,...,1n)
- fort=1,...Tfort=1,...T
- 根据当前样本权重，训练基分类器htht
- 计算htht的加权误差εt=∑ni=1wtiI(yi≠ht(xi))∑ni=1wtiεt=∑i=1nwitI(yi≠ht(xi))∑i=1nwit
- 计算htht的权重αt=12ln(1−εtεt)αt=12ln(1−εtεt)
- 更新样本权重wt+1←wt+1⋅e−αtyiht(xi)Ztwt+1←wt+1⋅e−αtyiht(xi)Zt
- 返回集成模型H(x)=∑Tt=1αtht(X)H(x)=∑t=1Tαtht(X)
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理论上随着弱分类器数目TT的增大，泛化误差上界也会增大。经验性结果表明，即是TT很大也不容易过度拟合。
