线性代数的本质
通过直观的动画演示，理解线性代数的大部分核心概念 ，不是教你学习线性代数，而是帮助你更高效的学习。
序言
学校的课程对矩阵的要求比较高，但是对于潜在的几何直观知之甚少，但是现在我们有计算机，所以我认为更应该理解概念层面的东西。
在数值水平与几何水平理解线性代数有着本质的区别。几何水平的理解能让你判断出特定问题应该用什么样的工具来求解、感受它们为什么有用、以及解释最终结果。所以学习线性代数需要几何上的直观理解作为坚实的基础。
本笔记的目的是线性代数数值与几何之间给关系。
向量究竟是什么？
向量相加，可以把它看做数轴上加法的一种扩展。
线性代数中最基础最根源组成部分就是向量。
那么向量是什么呢？
一般来说有三种不同的观点来看待向量。分别以物理、计算机、数学的视角来看待向量。
- 物理：具有大小和方向的箭头；
- 计算机：向量是有序的数字列表；
- 数学：结合物理和计算机两种观点，向量可以是任何数，只要符合加法和乘法的定义。
向量之所以要竖着写，是为了和点坐标相区别，向量可以看成一个起始点在坐标原点的带有方向的线段。向量的加法c=a+b可以看成一个动态运动的过程，先走到a，在以a的结尾开始走b，最终从原点到b的终点就是c。其中a也是先走再走j。i，j为基向量。向量的乘法可以理解成缩放。
线性组合、张成的空间与基
数学需要的不是天赋，而是少量的自由想象，但想象太过自由又会陷入疯狂。
线性代数围绕两种基本运算，向量加法与向量数乘。
线性组合：两个数乘向量的和；
张成的空间：v向量与w向量全部线性组合的集合；
基：向量空间的一组基是由张成该空间的一个线性无关的向量集；
当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基。
矩阵与线性变换的关系
线性变换有输入有输出，可以理解成一个将向量作为输入输出的函数，该函数保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动。
这一性质有个重要的推论，即变换后的v(x,y)依旧是x与变换后的i之积，加上y与变换后的j之积。
关于v，i，j之间的线性组合关系是不变的。也就是说只要知道了变换后的i，j的坐标，就能够推断出任意向量在变换之后的位置。
一种理解“向量的函数“的方法是使用运动，如果一个变换接收一个向量并输出一个向量，我们想象这个输入向量移动到输出向量的位置。接下来，要理解整个变换，我们可以想象每一个输入向量都移动到对应输出向量的位置。
总之线性变换是操作空间的一种手段，是对空间的挤压伸展, 是一种使向量运动的函数。
线性变换由它对空间的基向量的作用完全决定。只需要基向量变了，整个空间也就跟着变了，基坐标线性变换后，为新的基坐标。每当看到一个矩阵时，都可以解读为对空间的一种特定变换。
矩阵只是一种记号，它含有描述一个线性变换的信息，是变换后的(i, j)和在一起的写法。我们完全可以把矩阵的列看成是变换后的基向量。矩阵看作线性变换，那么矩阵乘法，行列式，基变换等都会更加容易理解。
矩阵乘法与线性变换复合
矩阵乘法可以理解为特定的线性变换.
两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用，即一个表换之后再进行另一个变换。这个乘积要从右向左《----读，先用右边的作用在用左边的作用，这起源于函数的记号，因为我们将函数写在变量的左侧。
计算“i”
计算“j”
这一方法具有普适性。
矩阵相乘时，它们的先后顺序影响结果吗？？
很明显，影响！
但是结合律：（AB）C = A（BC），可以观察到它们的变化顺序都是C--》B--》A，所以结果自然是相同的。
行列式
行列式的绝对值表示区域面积的缩放比例。二维
行列式为零说明矩阵的列线性相关。
det(M1M2) = det(M1)*det(M2)
那出现负数怎么解释呢？
改变了空间的定向，类似一张纸翻面。此时的绝对值仍然是表示 面积的缩放比例。
逆矩阵、列空间、零空间
逆矩阵也是一种变换，A逆乘以A等于一个什么都不做的矩阵。
不管是一条直线、 一个平面还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合被称为矩阵的“列空间”。
列空间就是矩阵的列张成的空间。所以更精确的 秩定义了列空间的维数。当秩达到最大，意味着秩与列数相等。称之为“满秩”。
对线性方程组来说,当向量v恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解。
点积与对偶性
注意点积的顺序，看，红色--》黄色的趋势变换。
叉积
来，我们来看看叉积。
用线性变化的角度看待点积
基变换
每个人可以选定不同的“参考”。
特征向量与特征值
特征向量：仅有一个拉伸的作用，仍然是留在原有的张成空间内，这些特殊的向量就被称为“特征向量”。
每一个特征向量都有一个特殊的值，称为特征值。即衡量特征向量在变化中拉伸或者压缩比例的因子。
有什么作用呢？
例如：这个3D立方体的旋转轴就是特征向量。并且此时的特征值是1，不能有缩放效果。
充分理解这个公式：
我们举一个例子：
抽象向量空间
函数实际上是另外一种意义的向量。
就很妙~~矩阵向量乘法和求导联系了起来。
所以，数学中有许多类似向量的事物，只要你处理的对象集具有合理的数乘和相加的概念。
如果你现在是线性代数的创始人，你需要满足这些“公理”。
到了这儿，也就明白为什么课堂是比较抽象的概念了，普适的代价是抽象。
