《期望与概率练习》

写着写着拿出了我的概率论书（哭

连续性随机变量X的期望：$E[X] = \sum_{x = -INF}^{INF} x * f(x) dx $ - f(x)为概率密度.

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P4316:

一开始写了个暴力，结果过了？可能DAG不太好卡暴力吧。

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,double> pii2;
const int N = 1e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 1e9 + 7;
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

vector<pii> G[N];
vector<pii2> vec[N];
int in[N];
void solve() { 
    int n,m;scanf("%d %d",&n,&m);
    while(m--) {
        int u,v,w;scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
        G[u].push_back(pii{v,w});
        in[v]++;
    }
    queue<int> Q;
    Q.push(1);
    vec[1].push_back(pii2{0,1});
    while(!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
        double p = 1.0 / G[u].size();
        for(auto v : G[u]) {
            in[v.first]--;
            for(auto tt : vec[u]) {
                vec[v.first].push_back(pii2{tt.first + v.second,tt.second * p});
            }
            if(in[v.first] == 0) Q.push(v.first);
        }
    }
    double ans = 0;
    for(auto v : vec[n]) ans += v.first * v.second;
    printf("%.2f\n",ans);
}   
int main() {
    solve();
    //system("pause");
    return 0;
}

正解：考虑期望dp。

因为是从1 -> n，所以可以定义dp[i] = i走到n的期望路径长度。

那么显然可以有dp[n] = 0，所以很显然我们要逆推，所以要建反图。

$dp[u] = \sum (dp[v] + w[u -> v]) * p$需要注意的是这里的p应该是v到u的概率，因为虽然我们是逆推的，但是实际上我们是正着走的。

然后也不难理解，如果转移成功能获得的贡献是$dp[v] + w[u -> v]$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,double> pii2;
const int N = 1e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 1e9 + 7;
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

vector<pii> G[N];
int in[N],sz[N];
double dp[N];
void solve() { 
    int n,m;scanf("%d %d",&n,&m);
    while(m--) {
        int u,v,w;scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
        G[v].push_back(pii{u,w});
        in[u]++,sz[u]++;
    }
    queue<int> Q;
    Q.push(n);
    dp[n] = 0;
    while(!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
        for(auto v : G[u]) {
            in[v.first]--;
            dp[v.first] +=  (dp[u] + v.second) * (1.0 / sz[v.first]);
            if(in[v.first] == 0) Q.push(v.first);
        }
    }
    printf("%.2f\n",dp[1]);
}   
int main() {
    solve();
    //system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P5104:

这么大的数据只能基于矩阵快速幂去考虑，但是由于这里是对于连续形状随机变量而言，也不好dp。

我们首先可以计算第一个取的人的期望钱数.$E1 = \sum_{x = 0}^{w} x \frac{1}{w} dx = \frac{1}{2} w$

因为E1 = w / 2，所以w - E1 = E1

我们继续第二个人的期望钱数$E2 = \sum_{x = 0}^{E1} x \frac{1}{E1} dx = \frac{1}{2} E1$

由此可见后面的递推都是1 / 2，那么可得第k个人的期望钱数 = w / 2 ^ k

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,double> pii2;
const int N = 1e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 1e9 + 7;
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

LL quick_mi(LL a,LL b) {
    LL re = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) re = re * a % Mod;
        a = a * a % Mod;
        b >>= 1;
    }
    return re;
}
void solve() { 
    LL w,n,k;scanf("%lld %lld %lld",&w,&n,&k);
    LL ma = quick_mi(2,k);
    LL ans = MUL(w,quick_mi(ma,Mod - 2));
    printf("%lld\n",ans);

}   
int main() {
    solve();
    system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P6154:

$DAG上的随机游走：考虑每条边的贡献即可。$

$对于一条边u -> v，经过这条边的路径数cnt = 原图拓扑到u的次数 * 反图拓扑到v的次数$

$然后每条路径的期望就是 1 * (cnt / sum)$

$这个sum我们只需要第一遍拓扑的时候处理出来即可$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,double> pii2;
const int N = 1e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

LL quick_mi(LL a,LL b) {
    LL re = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) re = re * a % Mod;
        a = a * a % Mod;
        b >>= 1;
    }
    return re;
}
LL dp[N],dp2[N],sum = 0;
int in[N],de[N];
vector<int> G[N],RG[N];
void solve() { 
    int n,m;scanf("%d %d",&n,&m);
    while(m--) {
        int x,y;scanf("%d %d",&x,&y);
        G[x].push_back(y);
        RG[y].push_back(x);
        in[y]++,de[x]++;
    }
    queue<int> Q;
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        dp2[i] = 1;
        if(de[i] == 0) Q.push(i);
    }
    while(!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        sum = ADD(sum,dp2[u]);
        Q.pop();
        for(auto v : RG[u]) {
            dp2[v] = ADD(dp2[v],dp2[u]);
            de[v]--;
            if(de[v] == 0) Q.push(v);
        }
    }
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        dp[i] = 1;
        if(in[i] == 0) Q.push(i);
    }
    LL ans = 0;
    while(!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
        for(auto v : G[u]) {
            ans = ADD(ans,MUL(MUL(dp[u],dp2[v]),quick_mi(sum,Mod - 2)));
            dp[v] = ADD(dp[v],dp[u]);
            in[v]--;
            if(in[v] == 0) Q.push(v);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
}   
int main() {
    solve();
    system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P1297:

$不知道为什么这题感觉还是有些难度的，但是我一看到就想到了做法$

$dp[i]表示做了i道题的期望做对题数，递推式：dp[i] = dp[i - 1] + min(a[i],a[i + 1]) / (a[i] * a[i + 1])$

$并不是很难想，相邻的一共答案对应情况有a[i] * a[i + 1]种，并且其中正确的只有min(a[i],a[i + 1])种$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,double> pii2;
const int N = 1e7 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

int n,A,B,C,a[N];
void Input() {
    scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = a[i] % C + 1;
}
double dp[N];//做了i道题的期望做对题数
void solve() { 
    Input();
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        if(i == n) {
            dp[i] = dp[i - 1] + 1.0 * min(a[i],a[1]) / (1LL * a[i] * a[1]);
        }   
        else {
            dp[i] = dp[i - 1] + 1.0 * min(a[i],a[i + 1]) / (1LL * a[i] * a[i + 1]);
        }
    }
    printf("%.3f\n",dp[n]);

}   
int main() {
    solve();
    system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P1291：

$这里就写一下思路了，因为输出太毒瘤了就不写了$
$很显然有一个dp[i] - 抽到i个不同球星的期望次数$

$定义dp[i + 1] = dp[i] + x$

$那么我们可以有第二种转移方式dp[i + 1] = dp[i] + 1 * (n - i / n) + (x + 1) * (i / n)$

$可以由x = 1 * (n - i / n) + (x + 1) * (i / n)，解得 x =  n / (n - i)，所以可得dp[i + 1] = dp[i] + n / (n - i)$

 

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1042E：

$虽然这里看起来是个矩阵图，但是大的往小的连边后，其实就是一个有起点的DAG游走$

$但是这里如果真的要连边那么复杂度吃不消，因为这里它一定会向小的连边，所以我们可以对所有点的权值排序$

$那么就类似一条x坐标轴，显然有dp[i] - 到i点的期望分数。但是这个题如果要正向推，那么化简就会比较麻烦，所以我们考虑逆推$

$dp[i]表示到所有终点的期望分数。那么有 dp[i] = \sum_{a[j] > a[i]}^{} dp[j] + (xi - xj) ^ 2 + (yi - yj) ^ 2$

$里面拆开后可以前缀和优化，就卡在这里化简老是不对..$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 1e3 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define INF 1e9
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

int a[N][N];
LL dp[N * N];//走到第i个点的期望分数
LL quick_mi(LL a,LL b) {
    LL re = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) re = re * a % Mod;
        a = a * a % Mod;
        b >>= 1;
    }
    return re;
}
struct Node{LL x,y,z;};
vector<Node> vec;
bool cmp(Node a,Node b) {
    return a.z < b.z;
}
LL f[N * N];
LL num,numx,numy,numx2,numy2;
LL nownum,nownumx,nownumy,nownumx2,nownumy2;
LL sumf,nowsumf;
void solve() { 
    int n,m;scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        for(int j = 1;j <= m;++j) scanf("%d",&a[i][j]);
    int x,y;scanf("%d %d",&x,&y);
    int mi = INF;
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        for(int j = 1;j <= m;++j) {
            if(a[i][j] < a[x][y]) vec.push_back(Node{i,j,a[i][j]}),mi = min(mi,a[i][j]);
        }
    }
    vec.push_back(Node{x,y,a[x][y]});
    sort(vec.begin(),vec.end(),cmp);
    n = vec.size();
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        f[i] = quick_mi(i,Mod - 2);//1 / i
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i == 1 || vec[i - 1].z != vec[i - 2].z){
            num+=nownum;numx+=nownumx;numy+=nownumy;
            numx2+=nownumx2;numy2+=nownumy2;
            nownum=nownumx=nownumy=nownumx2=nownumy2=0;
            sumf+=nowsumf;nowsumf = 0;
        }
        dp[i] = (num * (vec[i - 1].x * vec[i - 1].x + vec[i - 1].y * vec[i - 1].y) % Mod + numx2 + numy2 -2 * vec[i - 1].x*numx%Mod-2*vec[i - 1].y*numy%Mod+sumf)%Mod*f[num]%Mod;
        nownum++;
        nownumx += vec[i - 1].x;nownumy += vec[i - 1].y;
        nownumx2 += vec[i - 1].x * vec[i - 1].x;
        nownumy2 += vec[i - 1].y * vec[i - 1].y;
        nowsumf += dp[i];
        nownumx %= Mod;
        nownumy %= Mod;
        nownumx2 %= Mod;
        nownumy2 %= Mod;
        nowsumf %= Mod;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);

}   
int main() {
    solve();
    //system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P1850：

$这题其实非常不错，很显然有dp[i][j][k] - 到第i个申请了j次，k 0/1 - 前面一个有没有申请.$

$这里的转移瓶颈就在于前面一个如果申请了，那么我们就不知道它会在哪里，因为有可能失败。$

$这里其实我们只需要把申请成功的代价 和 申请失败的 都加上就好了，并不需要去真正关心它的前面一个位置。$

$这里需要注意的是概率需要满足两个如果两个都申请了，那就是乘法原则计算概率。$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 2e3 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define INF 1e9
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

int n,m,v,e,c[N],d[N];
double k[N];
int dis[305][305];
double dp[N][N][2];//dp[i][j][k] - 到i个时间段，申请了j个的最小期望体力花费,k - 0这一次没有申请，1 - 申请了
void Floyd() {
    for(int kk = 1;kk <= v;++kk) {
        for(int i = 1;i <= v;++i) {
            for(int j = 1;j <= v;++j) {
                dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][kk] + dis[kk][j]);
            }
        }
    }
}
void solve() { 
    scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&v,&e);
    for(int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d",&c[i]);
    for(int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d",&d[i]);
    for(int i = 1;i <= n;++i) cin >> k[i];
    memset(dis,0x3f3f3f,sizeof(dis));
    for(int i = 1;i <= v;++i) dis[i][i] = 0;
    while(e--) {
        int u,v,w;scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
        dis[v][u] = dis[u][v] = min(dis[u][v],w);
    }
    Floyd();
    for(int i = 0;i <= n;++i) 
        for(int j = 0;j <= m;++j) 
            for(int k = 0;k < 2;++k) dp[i][j][k] = INF;
    double ans = INF;
    dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = 0;
    for(int i = 2;i <= n;++i) {
        for(int j = 0;j <= m;++j) {
            int d1 = dis[c[i - 1]][c[i]],d2 = dis[d[i - 1]][c[i]],d3 = dis[c[i - 1]][d[i]],d4 = dis[d[i - 1]][d[i]];
            dp[i][j][0] = min(dp[i][j][0],dp[i - 1][j][0] + d1);
            dp[i][j][0] = min(dp[i][j][0],dp[i - 1][j][1] + k[i - 1] * d2 + (1 - k[i - 1]) * d1);
            if(j > 0) {
                dp[i][j][1] = min(dp[i][j][1],dp[i - 1][j - 1][0] + k[i] * d3 + (1 - k[i]) * d1);   
                dp[i][j][1] = min(dp[i][j][1],dp[i - 1][j - 1][1] + k[i - 1] * k[i] * d4 +  (1 - k[i - 1]) * (1 - k[i]) * d1 + k[i - 1] * (1 - k[i]) * d2 + (1 - k[i - 1]) * k[i] * d3);
            }
            if(i == n) ans = min(ans,min(dp[i][j][0],dp[i][j][1]));
        }
    }
    if(n == 1) printf("0.00\n");
    else printf("%.2f\n",ans);

}   
int main() {
    solve();
   // system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P1365:

$这题有点抽象，显然我们要计算的就是一连串?o组合的期望值。$

$可以考虑我们目前的o长度为len，价值为len ^ 2：$

$如果下一个为o，那么价值为(len + 1) ^ 2 - len ^ 2 = 2 * len + 1$

$如果下一个为?，我们需要考虑为x的代价 = 0，为o的代价 = 2 * len + 1$

$出现o的概率为1 / 2，那么我们可以获得的期望代价就是(2 * len + 1) / 2 = len + 0.5$

$就这样处理连续一段即可，需要注意的是len 在是 ?时应该加为 (len + 1) / 2$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 3e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define INF 1e9
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

int n;
double dp[N];//dp[i] - 到第i个字符的期望分数.
void solve() { 
    scanf("%d",&n);
    string s;cin >> s;
    double len = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        if(s[i - 1] == 'x') dp[i] = dp[i - 1],len = 0;
        else if(s[i - 1] == 'o') {
            dp[i] = dp[i - 1] + 2 * len + 1,++len;
        }
        else {
            dp[i] = dp[i - 1] + len + 0.5,len = (len + 1) / 2;
        }
    }
    printf("%.4f\n",dp[n]);
}   
int main() {
    solve();
  //  system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P6046:

$我们考虑单独一个点的情况，首先，它要被杀掉那肯定是左边最近的和右边最近的位置来。$

$其实就有一个比较自然的想法，E[x] = \sum_{i = 1}^{n - 1}i * p[i]，p[i] - 恰好活了i轮的概率$

$但是这里恰好的概率很难算，所以就有一个新的期望计算式子E[i] = \sum_{i = 1}^{n - 1}P[x >= i]，P[i] - 存活轮数 >= i轮的概率$

$然后我们来考虑存活概率>= i轮的概率，首先i位置和前面最近大于它的位置距离为pre,和后面最近大于它的位置为nxt：$

$要杀了i，一种就是j轮里选完了pre，即C(n - 1 - pre,j - pre) / C(n - 1,j)  即n - 1 - pre个位置里选j - pre个$

$然后右边选完了nxt同理，因为这两者都计算了选完了pre并且选完了nxt的情况，所以要容斥一下减去P(pre & nxt)$

$所以P = 1 - P(pre) - P(nxt) + P(pre & nxt)$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 3e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define INF 1e9
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

int a[55],L[55],r[55];
LL dp[55],C[55][55];
LL quick_mi(LL a,LL b) {
    LL re = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) re = re * a % Mod;
        a = a * a % Mod;
        b >>= 1;
    }
    return re;
}
void solve() { 
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d",&a[i]),L[i] = r[i] = -1;
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        for(int j = i + 1;j <= n;++j) {
            if(a[j] > a[i]) {r[i] = j;break;}
        }
        for(int j = i - 1;j >= 1;--j) {
            if(a[j] > a[i]) {L[i] = j;break;}
        }
    }
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= 50;++i) {
        C[i - 1][0] = 1;
        for(int j = 1;j <= 50;++j) {
            C[i][j] = ADD(C[i - 1][j],C[i - 1][j - 1]);
        }
    }
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        int d1 = -1,d2 = -1;
        if(L[i] != -1) d1 = i - L[i];
        if(r[i] != -1) d2 = r[i] - i;
        if(a[i] == n) {dp[i] = n - 1;continue;}
        LL tmp = 0;
        for(int j = 1;j <= n - 1;++j) {
            LL p = 1;
            LL p1 = MUL(C[n - 1 - d1][j - d1],quick_mi(C[n - 1][j],Mod - 2));
            LL p2 = MUL(C[n - 1 - d2][j - d2],quick_mi(C[n - 1][j],Mod - 2));
            LL p3 = MUL(C[n - 1 - d1 - d2][j - d1 - d2],quick_mi(C[n - 1][j],Mod - 2));
            if(d1 != -1 && d2 != -1) p = 1 - p1 - p2 + p3;
            else if(d1 != -1) p = 1 - p1;
            else if(d2 != -1) p = 1 - p2;
            p %= Mod;
            p = (p + Mod) % Mod;
            tmp = ADD(tmp,p);
        }    
        dp[i] = tmp;
    }
    for(int i = 1;i <= n;++i) printf("%lld%c",dp[i],i == n ? '\n' : ' ');

}   
int main() {
    solve();
   // system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/CF453A:

$这题其实不难，主要瓶颈在于计算选了k轮最大值为i的概率$

$这里就要用到容斥来算了，真的很妙$

$投了n轮，全在1 ~ i - 1的概率 = (i - 1 / m) ^ n，投了n轮，全在1 ~ i的概率 = (i / m) ^ n，显然最大值为i的概率 = (i / m) ^ n  -  (i - 1 / m) ^ n$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 3e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define INF 1e9
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

LL quick_mi(LL a,LL b) {
    LL re = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) re = re * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return re;
}
void solve() { 
    int m,n;scanf("%d %d",&m,&n);
    double ans = 0;
    for(int i = 1;i <= m;++i) {
        double ma = 1.0 * i * (pow(1.0 * i / m,n) - pow(1.0 * (i - 1) / m,n));
        ans += ma;
    }
    printf("%.10f\n",ans);
}   
int main() {
    solve();
  //  system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P3802:

这题有点玄妙了。我们可以求得前7个组成的概率a1 / n * a2 / (n - 1)  * a3 / (n - 2) * a4 / (n - 3) * a5 / (n - 4) * a6 / (n - 5) * a7 / (n - 6)

然后因为期望具有线性可加性，E[8] = E[7] + E[1] = E[7]，以此类推得出E[x > 7] = E[7],所以最后答案就是(n - 6) * E[7].

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 3e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define INF 1e9
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

int a[10];
void solve() { 
    int n = 0;
    for(int i = 1;i <= 7;++i) scanf("%d",&a[i]),n += a[i];
    if(n < 7) printf("0.000\n");
    else {
        double ans = 1,f = 1,f2 = 1;
        for(int i = 1;i <= 7;++i) {
            double ma = a[i] * 1.0 / (n - i + 1);
            ans *= ma; 
        }
        LL ma = 1;
        for(int i = 1;i <= 7;++i) ma *= i;
        ans = ans * ma;
        ans *= (n - 6);
        printf("%.3f\n",ans);
    }

}   
int main() {
    solve();
   // system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/CF16E:

这里正着推的状压，不能找到问题。

所以要倒着推，然后注意中间还要乘上存活集合为i里选中2条鱼的概率。

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 3e5 + 5;
const int M = 1e6 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define INF 1e9
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

double a[18][18],dp[1 << 18];//dp[i] - 集合i里的鱼都存活的概率
int cnt[1 << 18];
void solve() {
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i = 0;i < (1 << n);++i) {
        int k = 0;
        for(int j = 0;j < n;++j) {
            if(((i >> j) & 1) == 1) k++; 
        }
        cnt[i] = k;
    }
    for(int i = 0;i < n;++i) {
        for(int j = 0;j < n;++j) scanf("%lf",&a[i][j]);
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[(1 << n) - 1] = 1;
    for(int i = (1 << n) - 2;i >= 0;--i) {
        for(int j = 0;j < n;++j) {
            if(((i >> j) & 1) == 0) continue;
            for(int k = 0;k < n;++k) {
                if(((i >> k) & 1) == 0) {
                    dp[i] += dp[i | (1 << k)] * a[j][k] * 2.0 / (cnt[i] * (cnt[i] + 1));     
                }
            }
        }
    }
    for(int i = 0;i < n;++i) printf("%.6f\n",dp[1 << i]);

}   
int main() {
    solve();
    system("pause");
    return 0;
}

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P2973:

$这题就比较有意思了，考虑f[i] - 经过i的期望次数$

$然后就是一个无向图的随机游走的递推f[i]。$

$递推出来是个无解的状态，但是可以高斯消元求可行解。$

// Author: levil
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int N = 1e3 + 5;
const int M = 2e3 + 5;
const LL Mod = 998244353;
#define INF 1e9
#define dbg(ax) cout << "now this num is " << ax << endl;
inline long long ADD(long long x,long long y) {
    if(x + y < 0) return ((x + y) % Mod + Mod) % Mod;
    return (x + y) % Mod;
}
inline long long MUL(long long x,long long y) {
    if(x * y < 0) return ((x * y) % Mod + Mod) % Mod;
    return x * y % Mod;
}
inline long long DEC(long long x,long long y) {
    if(x - y < 0) return (x - y + Mod) % Mod;
    return (x - y) % Mod;
}

//dp[i] - 经过i的期望步数
int in[305];
double a[N][N];//增广矩阵
double x[N],eps = 1e-10;//解集
bool freeX[N];//标记是否为自由变元
int Gauss(int equ,int var){//返回自由变元个数
    /*初始化*/
    for(int i=0;i<=var;i++){
        x[i]=0;
        freeX[i]=true;
    }
    /*转换为阶梯阵*/
    int col=0;//当前处理的列
    int row;//当前处理的行
    for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){//枚举当前处理的行
        int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行
        for(int i=row+1;i<equ;i++){//寻找当前列绝对值最大的行
            if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))
                maxRow=i;
        }
        if(maxRow!=row){//与第row行交换
            for(int j=row;j<var+1;j++)
                swap(a[row][j],a[maxRow][j]);
        }
        if(fabs(a[row][col]) < eps){//col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列
            row--;
            continue;
        }
        for(int i=row+1;i<equ;i++){//枚举要删去的行
            if(fabs(a[i][col]) > eps){
                double temp=a[i][col]/a[row][col];
                for(int j=col;j<var+1;j++) 
                    a[i][j]-=a[row][j]*temp;
                a[i][col]=0;
            }
        }
    }
    //无解
    for(int i=row;i<equ;i++)
        if(fabs(a[i][col]) > eps)
            return -1;
    //无穷解: 在var*(var+1)的增广阵中出现(0,0,...,0)这样的行
    int temp=var-row;//自由变元有var-row个
    if(row<var)//返回自由变元数
        return temp;
    //唯一解: 在var*(var+1)的增广阵中形成严格的上三角阵
    for(int i=var-1;i>=0;i--){//计算解集
        double temp=a[i][var];
        for(int j=i+1;j<var;j++)
            temp-=a[i][j]*x[j];
        x[i]=temp/a[i][i];
    }
    return 0;
}

int d[305][305];
void solve() {
    int n,m,p,q;scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&p,&q);
    while(m--) {
        int u,v;scanf("%d %d",&u,&v);
        in[u - 1]++,in[v - 1]++;
        d[u - 1][v - 1] = d[v - 1][u - 1] = 1;
    }
    double f = 1 - (p * 1.0 / q);
    for(int i = 0;i < n;++i) {
        a[i][i] = 1;
        for(int j = 0;j < n;++j) {
            if(d[i][j] == 1) a[i][j] = -f / in[j];
        }
    }
    a[0][n] = 1;
    int ans = Gauss(n,n);
    for(int i = 0;i < n;++i) printf("%.9f\n",x[i] * (1.0 * p / q));

}   
int main() {
    //int ca;scanf("%d",&ca);
    //while(ca--) {
        solve();
    //}
    //system("pause");
    return 0;
}