博弈论入门

博弈论

有向图游戏

Nim 游戏

Nim游戏的定义是，给定$n$堆石子，两个玩家去交替的拿石头，每次只能拿某一堆的石头，如果此时有一个玩家无法进行这个游戏了，则游戏结束。为了解决这个问题，比较直接的会先想到一个类似于$DP$的思路，考虑当前每个状态，去将其划分为两个状态，这里我们定义为$P:\mathrm{必}\mathrm{败}\mathrm{态}$和$N:\mathrm{必}\mathrm{胜}\mathrm{态}$，将现在的Nim游戏看作是一个有向图上进行的过程，每个结点就是现在游戏的状态（还剩多少堆，每堆还有多少个)，直观的去想，出度为0的点可以直接成为$P$状态，然后我们考虑能走到最后状态的结点，是不是一定就是$N$了，因为一次操作可以直接让其走到必败，所以我们就可以类似递归的去定义，如果当前结点，他能走到的点有$P$状态，则他为$N$状态，否则为$P$状态。

但这样递归的定义复杂度是爆炸的，然后就有了一个神奇的定理，如果当前所有石子堆数异或和不为$0$，则是必胜态，否则则为必败态，简单证明，全为$0$的时候异或和也同样为$0$，如果此时不为$0$，所以他一定是某几个二进制位产生了奇数个$1$,我一定可以通过去操作某一堆来得到一个答案，把奇数个$1$给抵消掉，这样就走到$0$了。所以转移就成立了。

SG函数

通过Nim游戏，我们可以引入$SG$函数。把Nim游戏一般化，不要去思考什么堆数，现在就是在一个有向图上做游戏，终点结束游戏，定义终点值为$0$，为必败，我们可以计算每个结点的$mex$值，现在也将游戏分为两个状态，一：$mex=0$，此时能走到的点不存在必败态，所以必败。反之大于0说明存在一个子结点$mex=0$，所以必胜。

现在我们把这个问题进一步复杂化，假设只是有一个无向图，而是好多个无向图，每个图上有一个棋子，表示初始状态，那我们怎么确定是否存在必胜必败关系呢？我们可以对一个有向图先去考虑这个问题，假设一个棋子的$SG$值为$k$，说明 他的能走到的结点里，$mex$包括了$0,1,2,...,k-1$，这不就是Nim游戏，$n$堆石头，每次可以拿走一些，变成比他小的值，所以结论一样，异或和大于$0$必胜。