51nod 1597 有限背包计数问题 (背包 分块)

题意

题目链接

Sol

不会做啊AAA。。

暴力上肯定是不行的，考虑根号分组

设\(m = \sqrt{n}\)

对于前\(m\)个直接暴力，利用单调队列优化多重背包的思想，按\(\% i\)分组一下。复杂度\(O(n\sqrt{n})\)

对于后\(m\)个，此时每个物品没有个数的限制，换一种dp方法

设\(g[i][j]\)表示用了\(i\)个物品，大小为\(j\)的方案数。

转移的时候有两种方案

1. 把当前所有物品大小\(+1\)，\(g[i][j + i] += g[i][j]\)

2. 新加入一个最小的物品, \(g[i + 1][j + m + 1] += g[i][j]\)

看上去很显然，但自己想不出来qwq

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define pt(x) printf("%d\n", x);
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 10, mod = 23333333;
int N, M, f[81][MAXN], g[81][MAXN];
int add(int x, int y) {
	return (x + y >= mod) ? (x + y - mod): x + y;
}
int main() {
	scanf("%d", &N);
	M = sqrt(N);

	/*f[0][0] = 1; int o = 1; 
	for(int i = 1; i <= M; i++) {
		for(int k = 0; k < i; k++) {//res
			int s = 0;
			for(int t = 0; i * t + k <= N; t++) {//num
				s = add(s, f[i - 1][k + t * i]);
				f[i][k + t * i] = s;
				if(t >= i) s = (s - f[i - 1][(t - i) * i + k] + mod) % mod;//over take
			}
		}
	}	
	int ans = f[M][N];
	
	pt(ans)
	
	g[0][0] = 1; int p = 0;
	
	for(int i = 1; i <= M; i++) {// used i goods
		for(int j = 0; j <= N; j++) {// length is j 	
			if(j >= M + 1) g[i][j] = g[i - 1][j - (M + 1)];
			if(j >= i)     g[i][j] = add(g[i][j], g[i][j - i]);
		}
		for(int j = 0; j <= N; j++) (ans += 1ll * f[M][j] * g[i][N - j] % mod) %= mod;
	}
	printf("%d", ans);*/
	
	f[0][0] = 1; int o = 1; 
	for(int i = 1; i <= M; i++, o ^= 1) {
		memset(f[o], 0, sizeof(f[o]));
		for(int k = 0; k < i; k++) {//res
			int s = 0;
			for(int t = 0; i * t + k <= N; t++) {//num
				s = add(s, f[o ^ 1][k + t * i]);
				f[o][k + t * i] = s;
				if(t >= i) s = (s - f[o ^ 1][(t - i) * i + k] + mod) % mod;//over take
			}
		}
	}	
	int ans = f[o ^ 1][N], tmp = o ^ 1;	
	
	pt(ans)
	g[0][0] = 1; o = 1;
	for(int i = 1; i <= M; i++, o ^= 1) {// used i goods
		memset(g[o], 0, sizeof(g[o]));
		for(int j = 0; j <= N; j++) {// length is j 	
			if(j >= M + 1) g[o][j] = g[o ^ 1][j - (M + 1)];
			if(j >= i)     g[o][j] = add(g[o][j], g[o][j - i]);
		}
		for(int j = 0; j <= N; j++) (ans += 1ll * f[tmp][j] * g[o][N - j] % mod) %= mod;
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}