一种递推组合数前缀和的Trick

记录一下一种推组合数前缀和的方法

Trick

设\(\sum_{i = 0}^m C_n^i = S(n, m)\)

\(S\)是可以递推的

• \(S(n, m + 1) = S(n, m) + C_{n}^{m + 1}\)

就是加上最末尾的一项

• \(S(n + 1, m) = 2S(n, m) - C_n^m\)

\(S(n, m)\)可以看做是杨辉三角上的一行，而\(S(n+1, m)\)是他的下一行

考虑组合数的递推公式，除了\(C[n][m]\)这一项之外都会被计算两次、

另外如果有多组询问的话可以用莫队实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N, M, Lim, C[1001][1001], S[1001][1001];
int Make1() {
	for(int i = 0; i <= Lim; i++) {
		C[i][0] = C[i][i] = 1;
		for(int j = 1; j < i; j++)
			C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];		
	}
	return C[N][M];
}
void Make2() {
	/*for(int i = 0; i <= Lim; i++) {
		S[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= i; j++)
			S[i][j] = S[i][j - 1] + C[i][j];		
	}*/
	for(int i = 0, base = 1; i <= Lim; i++, base <<= 1) {
		S[i][i] = base;
		for(int j = i + 1; j <= Lim; j++)
			S[j][i] = 2 * S[j - 1][i] - C[j - 1][i];		
	}
}
void print(int (*a)[1001]) {
	for(int i = 0; i <= Lim; i++, puts("")) {
		for(int j = 0; j <= i; j++)
			printf("%d ", S[i][j]);		
	}
}
main() {
	Lim = 10;
	//cin >> N >> M;
	Make1();
	Make2();
	print(S);
	
}