多项式系数学习笔记

今天刚学的东西，简单记一下

多项式系数

对于多项式\((x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k) ^n\)的展开式中\(x_1^{d_1}x_2^{d_2}x_3^{d_3} \dots x_k^{d_k}\)这一项(满足\(d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_k = N\))的系数，记做

\({\binom{n}{d_1,d_2,d_3, \dots, d_k}} = \frac{n!}{d_1!d_2!d_3! \dots d_k!}\)

组合意义

将\(n\)个可分辨的球放到\(m\)个不同的盒子\(T_1, T_2, \dots T_m\)中，在\(T_i\)中放\(d_i\)个，不记盒内的次序，且满足\(\sum_{i = 1}^m d_i= N\)的方案数为$${\binom{n}{d_1,d_2,d_3, \dots, d_k}}$$

一道题目

给你一棵n个节点的有根树。你要给每个节点分配一个\(1 \sim n\)的数字，使得每个节点分配的数字不同，并且每个节点分配的数字都是它子树内最小的。求方案数。

设\(f[i]\)表示在以\(i\)为根的子树内放了\(1 \sim siz[i]\)的方案数

转移的时候，根节点肯定放了\(1\)号元素

那么

\(f[i] = \binom{siz[i] - 1} {e siz[u_1], siz[u_2], \dots siz[u_k]} \prod f_{u_i}\)

直接把\(1\)号节点的dp值展开之后得到

\(ans = n! \prod \frac{1}{siz[i]}\)