第二类斯特灵数学习笔记

简单的介绍一下吧，斯特灵数其实有很多好玩的性质和扩展的。

定义

设\(S(n, m)\)表示把\(n\)个不同的球放到\(m\)个相同的盒子里，且不允许盒子为空的方案数

称\(S\)为第二类斯特灵数

计算方法

递推：

考虑第\(n\)个球放到了哪里

第一种情况是自己占一个盒子，方案为\(S(n - 1, m - 1)\)

第二种情况是和之前的元素共占\(m\)个盒子，方案为\(S(n - 1, m) * m\)，最后的系数是考虑放在不同位置。

这里我们认为{1}{2 4}{3}与{1}{2}{3 4}是不同的方案

而{1}{2 4}{3}与{1}{3}{2 4}是相同的方案

综上

\(S(n, m) = S(n - 1, m - 1) + S(n - 1, m) * m\)

边界条件\(S(0, 0) = 1\)

容斥

\(S(n, m) = \frac{1}{m!} \sum_{k = 0}^m (-1)^k C(m, k) (m - k)^n\)

也比较好理解，我们去枚举一个空盒子的个数

答案 = 无视空盒子放的方案 - 至少有一个盒子为空的方案 + 至少有两个盒子为空的方案 + \(\dots\)

显然，这个式子可以用FFT优化，因此我们可以在\(O(nlogn)\)的复杂度内得到一行的斯特灵数

性质

1. \[n^k=\sum_ { i=0}^k S(k,i)×i!×C_{n}^i \]

2. \(S(n, 2) = 2^{n - 1} - 1\)