线性代数学习笔记(代数版)
Orz yanQval
内容主要来自半年前洛谷的冬令营，因为版权原因课件就不放了。
本来是不想学来着，但是过几天出去学习要讲这个，怕被虐的太惨就先预习一下吧
然而课件里面的题目基本都是CTSC难度的而且找不到提交地址qwq。
矩阵
\(A_{nm}\)表示一个\(n\)行\(m\)列的矩阵。
一个\(1\)行\(n\)列的矩阵可以被称为行向量
一个\(n\)行\(1\)列的矩阵可以被称为列向量
一个\(n\)行\(n\)列的矩阵可以被称为\(n\)阶方阵\(A_n\)
\(A^T\)表示矩阵的转置，即\(a_{ij}^{T} = a_{ji}\)，相当于把矩阵沿主对角线翻转
除了主对角线上的元素全部为\(0\)的矩阵为对角矩阵
主对角线以下全部为\(0\)的方阵是上三角矩阵
单位矩阵是主对角线全为\(1\)的对角矩阵，一般用\(I/E\)表示
逆矩阵
矩阵\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)，是满足\(AA^{-1} = A^{-1}A = I\)的矩阵
求逆矩阵的方法：
将原矩阵的右边放一个单位矩阵，并对整体进行消元，当左边被消成单位矩阵时，右侧就被消成了逆矩阵。如果中途失败则说明矩阵不可逆
其实还好理解，消元过程中使用的矩阵初等行变换实际上是左乘一个矩阵，他们的乘积就是逆矩阵，因此我们需要在右侧来构造一个矩阵来收集乘积的结果。
行列式
定义
一个方阵的行列式表示为\(|A|\)
其中\(p\)表示任意一个\(1\)到\(n\)的排列
\(\sigma(p)\)表示\(p\)的逆序对的数量
比如当\(n = 2\)时，
解释一下
当\(p = 1,2\)时，逆序对为\(0\)个，\(p_1 = 1, p_2 = 2\)，因此\((-1)^0 *(a_{1_{p_1}})*(a_{2_{p_2}}) = a_{11} * a_{22}\)
当\(p = 2,1\)时，逆序对为\(1\)个，\(p_1 = 2, p_2 = 1\)，因此\((-1)^1 * (a_{1_{p_1}})*(a_{2_{p_2}}) = -1 * a_{12} * a_{21}\)
因此\(|A| = a_{11}{22} - a_{12}a_{21}\)
性质
- 一个对角矩阵/上三角矩阵的行列式值是所有对角线上元素的乘积
证明：
大概感性的理解一下吧，考虑行列式的定义中，我们需要枚举\(a_{i{p_i}}\)，那么当\(i = n\)(也就是最后一行)，我们只有一种取值(\(p_n = n\))不为\(0\)，
当\(i = n - 1\)时，虽然有两种取值，但是最后一行已经去了一种，因此还是只有一种取值，以此类推。每一行都只有一种取值
因此答案为对角线元素的乘积
- 交换矩阵的两行/两列，行列值取反
证明：
性质：对于一个排列，交换任意两个元素，排序的奇偶性一定改变
我们交换了两行/两列，实际上是交换了\(p_i, p_j\)，因此奇偶性一定改变。
-
将矩阵的一行/一列乘上一个固定的常数\(k\)，行列式值也乘上\(k\)
-
将矩阵的一行加到另外一行上去，行列式值不变，列同理
证明：
想要直接证明比较困难，我们先证几个性质
-
存在两行一样的矩阵，行列式值为\(0\)
证明：考虑，如果第\(x\)行和第\(y\)行相同，那么交换排列中的\(p_x, p_y\)，\(\prod a_{i, p_i}\)不变，而前面的符号相反。所以行列式的每一项都存在一项和它的绝对值相同，符号相反
-
假设矩阵第\(x\)行，第\(i\)列的元素为\(a_{i}\)，且满足\(a_i = b_i + c_i\)，那么我们一定可以构造两个矩阵\(B,C\)，使得\(|A| = |B| + |C|\)
有了这两个性质，再重新考虑我们需要证明的东西
一个行\(a\)加到另一行\(b\)上面，我们会得到一行\(c = a+b\)
我们可以把\(c\)拆开来看，其中的\(b\)已经出现过，因此它对答案的贡献为\(0\)
所以行列值的值不变
- 矩阵可逆的充要条件是行列式不为\(0\)
证明：
行列式为\(0\)，说明消元过程中出现了\(a_{i, j} = 0\)
有了这些性质，我们就可以用高斯消元在\(O(n^3)\)的时间复杂度内求出矩阵行列式的值
伴随矩阵
余子式：
将方阵的第\(i\)行和第\(j\)行同时划去，剩余的一个\(n - 1\)阶的矩阵的行列式值称为元素\(a_{ij}\)的余子式，通常记为\(M_{ij}\)
代数余子式：
元素\(a_{ij}\)的代数余子式为\(C_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}\)
拉普拉斯展开
对于一个方阵\(A\)，\(A\)的行列式等于某一行所有元素的值乘上他们代数余子式 的和
即:\(|A| = \sum_{i = 1}^n a_{xi} C_{xi}\)，\(x\)是一个确定的行坐标，列同理
伴随矩阵
矩阵\(A\)的代数余子式矩阵是有每个元素的代数余子式构成的矩阵
矩阵\(A\)的伴随矩阵\(A*\)，是\(A\)的代数余子式矩阵的转置，即\(A* = C^T\)
对于可逆矩阵，满足
\(A* = |A|A^{-1}\)
其他的一些定义
线性空间
线性空间：一个非空集合\(V\)，对加法满足阿贝尔群，对数乘满足结合律，分配律，封闭性，域\(F\)上的单位元\(1\)满足\(1v = v\)
子空间：设\(W\)是\(V\)的一个子集，\(W\)在加法和数乘下都是封闭的，且\(0 \in W\)，则\(W\)是\(V\)的子空间
生成子空间(扩张)：对于若干\(V\)中的元素\(v\)，包含这些\(v\)的最小的子空间
\(W\)是这些元素的生成子空间
生成集合：对于一个\(V\)的子集\(v\)，如果\(v\)的生成子空间是\(V\)，则称\(v\)是\(V\)的一个生成集合
线性相关
对于一个线性空间的一个子集\(v_1, v_2, \dots , v_k\)，如果\(x_1v1 + x_2v_2 + \dots x_kv_k = 0\)存在非平凡解，则称这个子集线性相关，否则线性无关。这个条件等价于：任何一个元素都可以被其他元素线性表出
对于向量空间\(V\)的一个线性无关子集\(v\)，如果\(v\)的生成子空间是\(V\)，则称\(v\)是\(V\)的一组基，\(|v|\)是\(V\)的维度，同时\(v\)也是\(V\)的最小生成集合，同时也是极大线性无关组
对于一个矩阵\(A\)，把它的每一行看做一个行向量，那么它的极大线性无关组大小称为\(A\)的行秩，同理也可以定义\(A\)的列秩。显然，一个矩阵的行秩和列秩是相等的，如果一个矩阵的秩等于它的阶，那么这个矩阵满秩
同样，一个矩阵可逆的条件等于矩阵满秩。
反证法：如果矩阵不满秩，则消到最后一行时，一定可以被之间的线性表出
