BZOJ3884: 上帝与集合的正确用法(欧拉函数 扩展欧拉定理)
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Description
根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。
一句话题意:
![](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201502/1.png)
Input
接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值
Output
T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值
Sample Input
3
2
3
6
2
3
6
Sample Output
0
1
4
1
4
HINT
对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7
Source
扩展欧拉定理$a^p \equiv a^{p \% \phi(M) + \phi(M)} \pmod {M}$
欧拉函数:1. 当$N > 3$时,$\phi(N)$为偶数
2.若$N$为偶数,则$\phi(N) <= \frac{N}{2}$
然后直接暴力算就行了,很显然不会超过$logp$层
#include<cstdio> #include<map> #include<cstring> using namespace std; const int MAXN = 1e7 + 10; inline int read() { char c = getchar(); int x = 0, f = 1; while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();} while(c >= '0' && c <= '9')x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * f; } int mp[MAXN]; int GetPhi(int x) { int ans = x; for(int i = 2; i * i <= x; i++) { if(!(x % i)) { ans = ans / i * (i - 1); while(!(x % i)) x /= i; } } if(x > 1) ans = ans / x * (x - 1); return ans; } int fastpow(int a, int p, int mod) { int base = 1; while(p) { if(p & 1) base = (1ll * base * a) % mod; a = (1ll * a * a) % mod; p >>= 1; } return base % mod; } int F(int mod) { if(mp[mod] != -1) return mp[mod]; int phi = GetPhi(mod); return mp[mod] = fastpow(2, F(phi) + phi, mod); } int main() { memset(mp, -1, sizeof(mp)); int QwQ = read(); mp[1] = 0; while(QwQ--) { int mod = read(); printf("%d\n", F(mod)); //printf("%d\n", GetPhi(mod)); } return 0; }
作者:自为风月马前卒
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