BZOJ3884: 上帝与集合的正确用法(欧拉函数 扩展欧拉定理)

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Description

 

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

 

一句话题意：

 

 

Input

 

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

 

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

 

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

 

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

 

 

 

Source

By PoPoQQQ

 

扩展欧拉定理$a^p \equiv a^{p \% \phi(M) + \phi(M)} \pmod {M}$

欧拉函数：1. 当$N > 3$时，$\phi(N)$为偶数

　　　　　2.若$N$为偶数，则$\phi(N) <= \frac{N}{2}$

然后直接暴力算就行了，很显然不会超过$logp$层

#include<cstdio>
#include<map>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1e7 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9')x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int mp[MAXN];
int GetPhi(int x) {
    int ans = x;
    for(int i = 2; i * i <= x; i++) {
        if(!(x % i)) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while(!(x % i)) x /= i;
        }
    }
    if(x > 1) ans = ans / x * (x - 1);
    return ans;
} 
int fastpow(int a, int p, int mod) {
    int base = 1;
    while(p) {
        if(p & 1) base = (1ll * base * a) % mod;
        a = (1ll * a * a) % mod; p >>= 1;
    }
    return base % mod;
}
int F(int mod) {
    if(mp[mod] != -1) return mp[mod];
    int phi = GetPhi(mod); 
    return mp[mod] = fastpow(2, F(phi) + phi, mod);
}
int main() {
    memset(mp, -1, sizeof(mp));
    int QwQ = read();
    mp[1] = 0; 
    while(QwQ--) {
        int mod = read();
        printf("%d\n", F(mod));
        //printf("%d\n", GetPhi(mod));
    }
    return 0;
}