BZOJ1050: [HAOI2006]旅行comf(并查集 最小生成树)

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Description

给你一个无向图，N(N<=500)个顶点, M(M<=5000)条边，每条边有一个权值Vi(Vi<30000)。给你两个顶点S和T，求

一条路径，使得路径上最大边和最小边的比值最小。如果S和T之间没有路径，输出”IMPOSSIBLE”，否则输出这个

比值，如果需要，表示成一个既约分数。 备注： 两个顶点之间可能有多条路径。

Input

第一行包含两个正整数，N和M。下来的M行每行包含三个正整数：x，y和v。表示景点x到景点y之间有一条双向公路

，车辆必须以速度v在该公路上行驶。最后一行包含两个正整数s，t，表示想知道从景点s到景点t最大最小速度比

最小的路径。s和t不可能相同。

1<N<=500,1<=x,y<=N，0<v<30000，0<M<=5000

Output

如果景点s到景点t没有路径，输出“IMPOSSIBLE”。否则输出一个数，表示最小的速度比。

如果需要，输出一个既约分数。

Sample Input

【样例输入1】
4 2
1 2 1
3 4 2
1 4
【样例输入2】
3 3
1 2 10
1 2 5
2 3 8
1 3
【样例输入3】
3 2
1 2 2
2 3 4
1 3

Sample Output

【样例输出1】
IMPOSSIBLE
【样例输出2】
5/4
【样例输出3】
2

HINT

Source

考虑到$N, M$很小，所以考虑$(N/M)^2$级别的算法

刚开始我很zz的认为答案在最小/最大生成树上，

然而

1 2 2

2 3 4

1 3 5

这组数据就可以卡掉。

考虑如何解决这种问题。

我们可以枚举最小值所在的边，然后把比他权值大的边往上加。如果S和T联通了就退出

这样肯定是对的。

时间复杂度$O(M^2)$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long  
const int MAXN = 1e5 + 10, INF = 1e9 + 10;
using namespace std;
inline int read() {
    char c = getchar();int x = 0,f = 1;
    while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){x = x * 10 + c - '0',c = getchar();}
    return x * f;
}
struct Edge {
    int u, v, w;
    bool operator < (const Edge &rhs) const {
        return w < rhs.w;
    }
}E[MAXN];
int N, M, fa[MAXN], S, T;
int find(int x) {
    if(fa[x] == x) return fa[x];
    else return fa[x] = find(fa[x]);
}
int Build(int now) {
    int mx = -INF, tot = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++) fa[i] = i;
    for(int i = now; i <= M; i++) {
        int fx = find(E[i].u), fy = find(E[i].v);
        if(fx == fy) continue;
        tot++;
        fa[fx] = fy;
        mx = max(mx, E[i].w);
        if(find(S) == find(T)) return mx;
    }
    return INF;
}
main() {
    N = read(); M = read();
    for(int i = 1; i <= M; i++) {
        int x = read(), y = read(), z = read();
        E[i] = (Edge){x, y, z};
    }
    S = read(), T = read();
    sort(E + 1, E + M + 1);
    double now = INF;
    int mi = INF, mx = INF;
    for(int i = 1; i <= M; i++) {
        int nowx = Build(i);
        if((double)nowx / E[i].w < now) {
            mi = E[i].w, mx = nowx;
            now = (double)mx / mi;
        }
    }
    if(mx == INF) printf("IMPOSSIBLE");
    else {
        int gcd = __gcd(mi, mx);
        if(mi / gcd != 1) printf("%d/%d", mx / gcd, mi / gcd);
        else printf("%d", mx / gcd);
    }
}