BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林(瓶颈生成树 LCT)
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Description
为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。
魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。
只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。
由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。
Input
第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。
Output
输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。
Sample Input
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1
Sample Output
32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。
【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。
HINT
2<=n<=50,000
0<=m<=100,000
1<=ai ,bi<=50,000
Source
首先考虑只有一维的情况，很明显是最小生成树
二维的情况可以由一维的情况拓展而来。
对$a_i$进行排序，每次加入加入这条边，判断是否会形成环，若不会形成环那就加进去
如果会形成环那就把环上$b_i$最大的那条边删掉
这个过程很显然可以用LCT维护
注意如果图联通，我们就需要更新答案。
很显然，我们在枚举了$a_i$的同时保证了$b_i$最小，因此这样是正确的
其实SPFA跑的比LCT快
#include<cstdio> #include<vector> #include<algorithm> #include<cstring> const int INF = 1e9 + 10, MAXN = 2 * 1e5 + 10; using namespace std; inline int read() { char c = getchar(); int x = 0, f = 1; while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * f; } int N, M; struct Edge { int u, v, a, b; bool operator < (const Edge &rhs) const { return a < rhs.a; } }E[MAXN]; #define ls(x) ch[x][0] #define rs(x) ch[x][1] int fa[MAXN], ch[MAXN][2], Mx[MAXN], val[MAXN], rev[MAXN]; void connect(int x, int _fa, int opt) {fa[x] = _fa; ch[fa[x]][opt] = x;} bool ident(int x) { return ch[fa[x]][0] == x ? 0 : 1;} bool isroot(int x) { return ch[fa[x]][0] != x && ch[fa[x]][1] != x;} void update(int x) { if(val[x] > val[Mx[ls(x)]] && val[x] > val[Mx[rs(x)]]) Mx[x] = x; else Mx[x] = val[Mx[ls(x)]] > val[Mx[rs(x)]] ? Mx[ls(x)] : Mx[rs(x)]; } void pushdown(int x) { if(!rev[x]) return ; rev[ls(x)] ^= 1; rev[rs(x)] ^= 1; swap(ls(x), rs(x)); rev[x] = 0; } void push(int x) { if(!isroot(x)) push(fa[x]); pushdown(x); } void rotate(int x) { int Y = fa[x], R = fa[Y]; int Yson = ident(x), Rson = ident(Y); int B = ch[x][Yson ^ 1]; fa[x] = R; if(!isroot(Y)) connect(x, R, Rson); connect(Y, x, Yson ^ 1); connect(B, Y, Yson); update(Y); update(x); } void splay(int x) { push(x); for(int y = fa[x]; !isroot(x); rotate(x), y = fa[x]) if(!isroot(y)) ident(y) == ident(x) ? rotate(x) : rotate(y); } void access(int x) { for(int y = 0; x; x = fa[y = x]) splay(x), ch[x][1] = y, update(x); } int findroot(int x) { access(x); splay(x); pushdown(x); while(ls(x)) pushdown(x = ls(x)); return x; } void makeroot(int x) { access(x); splay(x); rev[x] ^= 1; pushdown(x); } void link(int x, int y) { makeroot(x); if(findroot(y) != x) fa[x] = y; } void cut(int x, int y) { makeroot(x); if(findroot(y) == x && fa[x] == y && !rs(x) && ls(y) == x) fa[x] = ls(y) = 0, update(y); } void add(int id, int x, int y, int b) { if(findroot(x) != findroot(y)) { link(x, id); link(id, y); val[id] = b; return ; } makeroot(x); access(y); splay(y); int Maxval = val[Mx[y]]; if(Maxval <= b) return ; int t = Mx[y]; cut(t, E[t - N].u); cut(E[t - N].v, t); link(x, id); link(id, y); val[id] = b; } main() { #ifdef WIN32 freopen("a.in", "r", stdin); #endif N = read(); M = read(); for(int i = 1; i <= M; i++) { int x = read(), y = read(), ta = read(), tb = read(); E[i] = (Edge){x, y, ta, tb}; } sort(E + 1, E + M + 1); int ans = INF; for(int i = 1; i <= M; i++) { add(i + N, E[i].u, E[i].v, E[i].b); if(findroot(1) != findroot(N)) continue; makeroot(N); access(1); splay(1); ans = min(ans, E[i].a + val[Mx[1]]); } printf("%d\n", ans == INF ? -1 : ans); }
