《具体数学》学习笔记
前几天氪了本《具体数学》，感觉开了个天坑qwq，现在已经看了一些了，里面一些很有意思的性质，稍微纪录一下吧。
以后争取每天能看一点，当然不一定是按顺序看。
第1章 递归问题
1.1河内塔
$n$个盘子的汉诺塔问题需要移动$2^n - 1$次
1.2平面上的直线
$n$条直线最多能将平面划分为$\frac{n(n+1)}{2}$ + 1个区域
1.3约瑟夫问题
约瑟夫问题：$n$个人围成一个圈，每隔两个人杀死一个人，问最后谁会活下来
设$J(n)$表示答案，$n =(b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$
$J((b_mb_{m - 1}\dots b_1b_0)_2) = (b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$
即$J(n) = n_2 \ left \ rotate$(左循环一位)
第2章 和式
2.1 记号
$\sum_{k = 1} ^n a_k$
$\sum$后面的量成为被加数(summand)
$\sum_{k=1}^{\pi(N)}\frac{1}{p_k}$
其中$p_k$表示第$k$个素数，$\pi(N)$是$\leqslant N$的素数的个数。
这个和式给出了接近$N$的随机整数平均而言有多少个素因子，因为那些整数中大约有$1/p$个能被$p$整除，对于大的$N$，它的值近似等于$lnlnN + M$，其中
$$M \approx 0.261 4972128476427837554268386086958590515666$$
是麦尔腾(mertens)常数(百度不到这个人？！)
2.2 和式和递归式
将$a_nT_n = b_nT{n - 1} + s_nc_n$转化为和式
$$T_n = \frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+\sum_{k = 1}^n s_kc_k)$$
其中$$s_n = \frac{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1}{b_nb_{n-1}\dots b_2}$$
$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$
字母$H$表示“调和的”,$H_n$称为一个“调和数”(harmonic number)
2.3 和式的处理
设$K$是任意一个有限整数集合，$K$中元素的和式可以用三条简单的法则加以变换：
$$\sum_{k \in K}ca_k = c \sum_{k \in K}a_k$$
$$\sum_{k \in K}(a_k + b_k) = \sum_{k \in K}a_k + \sum_{k \in K}b_k$$
$$\sum_{k \in K}a_k = \sum_{p(k) \in K} a_{p(k)}$$
第4章 数论
4.1 整除性
如果$m > 0$且比值$n \mid m$是一个整数，我们就说$m$整除$n$（或者$n$被$m$整除）
$m \mid n \Longleftrightarrow m > 0 $且对某个整数$k$有$n = mk$
如果$m$不整除$n$，我们就写成$m \nmid n$
两个整数$m$和$n$的最大公因子(greatest common divisor)是能整除他们两者的最大整数
$$gcd(m, n) = max\{k \ that \ k\mid m 且 k \mid n\}$$
4.2 素数
如果一个正整数$p$恰好只有两个因子，即$1$和$p$，那么这个数就称为素数（prime）
算术基本定理：有且仅有一种方式将$n$按照素数非减的次序写成素数的成绩
$$n = p_1 \dots p_m = \prod_{k = 1}^m p_k$$
4.3 素数的例子
素数有无穷多个
形如$2^p - 1$的数，称为梅森素数(Mersenne number)
4.4 阶乘的因子
斯特林公式
$$n! \approx \sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n $$
4.5 互素
当$gcd(m,n) = 1$时，整数$m$和$n$没有公共的素因子，我们就称它们是互素的(relatively prime)
若$m \bot n \Longleftrightarrow m,n$是整数，且$gcd(m,n) = 1$
Stern-Brocot树：构造由满足$m \bot n$的全部非负的分数$frac{m}{n}$组成的集合
构造方法：首先从$(\frac{0}{1},\frac{1}{0})$出发，每次在两个相邻接的分数$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$之间插入$\frac{m + m'}{n + n'}$
性质：
1. 如果$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$是这个构造中任何一个阶段的相邻的分数，我们就有$$m'n - mn' = 1$$
2. 对于分数$\frac{a}{b}$，至多在$a + b$步之后我们一定会得到$\frac{a}{b}$
阶为$N$的法里级数(Farey serires)记为$F_n$，它是介于$0$到$1$之间的分母不超过$N$的所有最简分数组成的集合，且按照递增的次序排列
递推方法：$F_n$可以由$F_{n - 1}$中分母之和等于$N$的相邻分数$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$之间插入分数$\frac{m + m'}{N}$得到。
当$N$是素数时，将会出现$N - 1$个新的分，否则会有少于$N - 1$个新的分数
4.9 $\phi $函数和$ \mu $函数
$phi $函数性质
1.$n^{\phi{m}} \equiv p^k - p^{k - 1}$
2.若$p$为素数，$\phi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$
因为$\phi$函数为积性函数，因此$$\phi(m) = \prod_{p \mid m}(p^{m_p} - p^{m_p - 1}) = m \prod_{p \mid m}(1 - \frac{1}{p})$$
3.$\sum_{d \mid m} \phi(d) = m$
积性函数
如果$f(1) = 1$，且$$f(m_1m_2) = f(m_1)f(m_2)$$
只要$m_1 \bot m_2$，那么正整数的函数$f(m)$称为是积性的(multiplicative)
第6章 特殊的数
6.6 斐波那契数
1.卡西尼不等式
$$F_{n + 1}F_{n - 1} - F_n^2 = (-1)^n, n > 0$$
2.
$$F_{n + k} = F_kF_{n + 1} + F_{k - 1}F_n$$
3.
$F_{kn}$都是$F_n$的倍数，其逆命题也成立
4.如果$n > 2$，则斐波那契数$F_m$是$F_n^2$的倍数，当且仅当$m$是$nF_n$的倍数
5.每一个正整数都可以用斐波那契数唯一表示
$n = F_{k_1} + F_{k_2}+ \dots + F_{k_r}, k_1 \gg k_2 \gg \dots \gg k_r \gg 0$
