BZOJ 3771: Triple(生成函数 FFT)

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Description

我们讲一个悲伤的故事。

从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。

这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫一看：“是啊是啊！”

水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”

水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。

于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”

水神看着他，哈哈大笑道：

“你看看你现在的样子，真是丑陋！”

之后就消失了。

 

樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。

于是他准备回家换一把斧头。

回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。

水神拿着的的确是他的斧头。

但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。

换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。

 

樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。

他想统计他的损失。

樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。

他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。

注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

 

 

Input

第一行是整数N，表示有N把斧头。

接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。

 

 

Output

若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。

 

 

Sample Input

4
4
5
6
7

Sample Output

4 1
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.

HINT

 

所有数据满足：Ai<=40000

 

 

Source

应该不难看出是生成函数

我们用$A(x) = a + bx^1 + cx^2 + \dots $表示价值为$1$的方案为$a$，价值为$2$的方案为$b$

那么很显然的思路就是：$A(x) + \frac{A(x) * A(x)}{2!} + \frac{A(x) * A(x) * A(x)}{3!}$

但是题目中要求了每种斧子只能拿一次，这样会多计算重复拿的一部分

因此我们考虑用容斥的方法将他们减去

定义$B(x) = x ^ i$表示价值为$i$的拿了两把的方案数

$C(x) = x ^ i$表示价值为$i$的拿了三把的方案数

拿两把斧子时会计算到$(x, x)$这种情况，所以拿两把时应该为$\frac{A(x) * A(x) - B(x)}{2!}$

拿三把时有些复杂

我们需要减去$(x, x, x)$和$(x, y, y)$这两种情况

第一种情况就是$C(x)$

第二种情况可以通过$A(x)* B(x)$计算得到，但此时也计算上了$(x, x, x)$这种情况

$(x, y, y)$有三种组合排列方式，所以要乘$3$，但$(x, x, x)$只有一种排列方式，所以最终统计答案时要加上$2 * C(x)$

最终的答案就是

$A + \frac{A * A - B}{2!} + \frac{A * A * A - 3 * A * B + 2C}{3!}$

多项式乘法可以用NTT，不过模数会炸998244353

看到大佬们都用FFT A了，那我就偷个懒喽

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
//#include<iostream>
const double pi = acos(-1);
using namespace std;
const int MAXN = 150000;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
struct complex {
    double x, y;
    complex(double xx = 0, double yy = 0) {x = xx, y = yy;}
    complex operator + (const complex &rhs) {
        return complex(x + rhs.x, y + rhs.y);
    }
    complex operator - (const complex &rhs) {
        return complex(x - rhs.x, y - rhs.y);
    }
    complex operator * (const complex &rhs) {
        return complex(x * rhs.x - y * rhs.y, x * rhs.y + y * rhs.x);
    }
    complex operator * (const double &rhs) {
        return complex(x * rhs, y * rhs);
    }
    complex operator / (const double &rhs) {
        return complex(x / rhs, y / rhs);
    }
}A[MAXN], B[MAXN], C[MAXN];
int val, n, N, L, len, r[MAXN];
void FFT(complex *A, int type) {
    for(int i = 0; i < N; i++) if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]);
    for(int mid = 1; mid < N; mid <<= 1) {
        complex Wn(cos(pi / mid), type * sin(pi / mid));
        for(int j = 0; j < N; j += (mid << 1)) {
            complex w = complex(1, 0);
            for(int i = 0; i < mid; i++, w = w * Wn) {
                complex x = A[j + i], y = w * A[j + i + mid];
                A[j + i] = x + y;
                A[j + i + mid] = x - y;
            }
        }
    }
    if(type == -1) {
        for(int i = 0; i < N; i++)
            A[i].x /= N;
    }
}
void print(complex *a) {
    for(int i = 0; i < N; i++)
        printf("%d %lf %lf\n", i, a[i].x, a[i].y);
}
int main() {
#ifdef WIN32
    freopen("a.in", "r", stdin);
    freopen("b.out", "w", stdout);
#endif
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)  
        val = read(), 
        A[val].x = 1, 
        B[2 * val].x = 1, 
        C[3 * val].x = 1,
        len = max(3 * val, len);
    len = len + 1;//tag
    for(N = 1; N <= len; N <<= 1, L++);
    for(int i = 0; i < N; i++)
        r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
        
    FFT(C, 1);
    FFT(A, 1); 
    FFT(B, 1); 
    for(int i = 0; i < N; i++)
        A[i] = A[i] + (A[i] * A[i] - B[i]) / 2.0 + (A[i] * A[i] * A[i] - A[i] * B[i] * 3.0 + C[i] * 2.0) / 6.0;
    FFT(A, -1);
    
    for(int i = 0; i < N; i++) {
        long long cur = (long long )(A[i].x + 0.5);
        if(cur) 
            printf("%d %lld\n", i, cur);
    }
    return 0;
}