BZOJ4517: [Sdoi2016]排列计数(组合数+错位排列)

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

 

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

 

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

HINT

 

Source

鸣谢Menci上传

 

啊啊为什么我这么菜QWQ。。

这题一个公式就过去了，

考虑一个数$i$，只有当$i$在第$i$个位置时才能产生贡献，

那么需要产生$m$个数的方案就是$C_n^m$

然后让剩下的数错排，设错排的方案数为$D(i)$

递推公式$D[i]=(i-1)*D(i-1)*D(i-2)$

证明：

#include<cstdio>
#define int long long 
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int MAXN=1e6+10;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int fac[MAXN],D[MAXN],inv[MAXN];
void Pre()
{
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=D[0]=D[2]=1;
    for(int i=2;i<=1000001;i++) fac[i]=(i*fac[i-1])%mod;
    for(int i=2;i<=1000001;i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=2;i<=1000001;i++) inv[i]=(inv[i]*inv[i-1])%mod;
    for(int i=3;i<=1000001;i++) D[i]=((i-1)*(D[i-1]+D[i-2]))%mod;
}
int Query(int N,int M)
{
    return fac[N] %mod * inv[ N-M  ] %mod * inv[ M ] %mod * D[N-M] %mod;
}
main()
{
    Pre();
    int T=read();
    while(T--)
    {
        int N=read(),M=read();
        printf("%lld\n",Query(N,M)%mod);
    }
    return 0;
}