浅谈线段树中加与乘标记的下放

感觉题解里面对加和乘标记下放的顺序讲的不是很清楚，要么是直接没说，要么是一句话带过

如果想看1080P高清无码证明的可以报洛谷冬令营省选班，去看第一天的回放233

假设我们一个节点为\([val,mul,add]\)，其中\(val\)代表该节点的权值，\(mul\)为乘法标记，\(add\)为加法标记

那么我们有两种表示方式，

• 第一种：先加再乘

此时该节点为\((val+add)*mul\)

当再遇到一个\([\_mul,\_add]\)的标记时，

此时节点为\([(val+add)*mul+\_add]*\_mul\)

把式子展开并重新化为\((val+add')*mul'\)的形式
(也就是提出\(mul*\_mul\)这一项)得

\((val+add+\frac{\_add}{mul})*mul*\_mul\)

我们发现这里有个除法，会损失很多精度

因此我们换一个思路

• 第二种：先乘再加

此时该节点为\((val*mul)+add\)

当再遇到一个\([\_mul,\_add]\)的标记时，

此时节点为\([(val*mul)+add]*\_mul+\_add\)

把式子展开并重新化为\((val*mul')+add'\)的形式

\(val*mul*\_mul+add*\_mul+\_add\)

我们发现这样不需要除法，因此我们选用第二种

其实线段树标记的下放一般都是这个套路

建议大家做完这道题后再去做一下这道题

放一下丑陋的代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-')f = -1; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}
    return x * f;
}
int N, M, mod;
struct node {
    int mul, add, sum, l, r, siz;
} T[MAXN];
void update(int k) {
    T[k].sum = (T[ls].sum % mod + T[rs].sum % mod) % mod;
}
void ps(int x, int f) {
    T[x].mul = (T[x].mul % mod * T[f].mul % mod) % mod;
    T[x].add = (T[x].add * T[f].mul) % mod;
    T[x].add = (T[x].add + T[f].add) % mod;
    T[x].sum = (T[x].sum % mod * T[f].mul % mod) % mod;
    T[x].sum = (T[x].sum + T[f].add % mod * T[x].siz) % mod;
}
void pushdown(int k) {
    if (T[k].add == 0 && T[k].mul == 1) return ;
    ps(ls, k);
    ps(rs, k);
    T[k].add = 0;
    T[k].mul = 1;
}
void Build(int k, int ll, int rr) {
    T[k].l = ll; T[k].r = rr; T[k].siz = rr - ll + 1; T[k].mul = 1;
    if (ll == rr) {
        T[k].sum = read() % mod;
        return ;
    }
    int mid = ll + rr >> 1;
    Build(ls, ll, mid);
    Build(rs, mid + 1, rr);
    update(k);
}
void IntervalMul(int k, int ll, int rr, int val) {
    if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) {
        T[k].sum = (T[k].sum * val) % mod;
        T[k].mul = (T[k].mul * val) % mod;
        T[k].add = (T[k].add * val) % mod;
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid = T[k].l + T[k].r >> 1;
    if (ll <= mid) IntervalMul(ls, ll, rr, val);
    if (rr > mid)  IntervalMul(rs, ll, rr, val);
    update(k);
}
void IntervalAdd(int k, int ll, int rr, int val) {
    if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) {
        T[k].sum = (T[k].sum + T[k].siz * val) % mod;
        T[k].add = (T[k].add + val) % mod;
        return ;
    }
    pushdown(k);
    int mid = T[k].l + T[k].r >> 1;
    if (ll <= mid) IntervalAdd(ls, ll, rr, val);
    if (rr > mid)  IntervalAdd(rs, ll, rr, val);
    update(k);
}
int IntervalSum(int k, int ll, int rr) {
    int ans = 0;
    if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) {
        ans = (ans + T[k].sum) % mod;
        return ans;
    }
    pushdown(k);
    int mid = T[k].l + T[k].r >> 1;
    if (ll <= mid) ans = (ans + IntervalSum(ls, ll, rr)) % mod;
    if (rr > mid)  ans = (ans + IntervalSum(rs, ll, rr)) % mod;
    return ans % mod;
}
main() {
#ifdef WIN32
    freopen("a.in", "r", stdin);
#endif
    N = read(); M = read(); mod = read();
    Build(1, 1, N);
    while (M--) {
        int opt = read();
        if (opt == 1) {
            int l = read(), r = read(), val = read() % mod;
            IntervalMul(1, l, r, val);
        } else if (opt == 2) {
            int l = read(), r = read(), val = read() % mod;
            IntervalAdd(1, l, r, val);
        } else if (opt == 3) {
            int l = read(), r = read();
            printf("%lld\n", IntervalSum(1, l, r) % mod);
        }
    }
    return 0;
}