浅谈差分约束问题

差分约束

差分约束是解决这样一类问题

给出\(n\)个形如\(x[j]-x[i]<=k\)的式子，求\(x[n]-x[1]\)的最大/最小值

思路

其实这个问题是挺套路的

我们把给出的式子变一下

\(x[j]-x[i]<=k\)

\(x[j]<=x[i]+k\)

我们不难联想到图论中最短路的性质

假设\(d[x]\)表示\(1\)到\(x\)的最短路

那么对于任意一条边\((u,v)\)

有\(d[v]<=d[u]+k\)（k表示边权）

可能有些抽象，举个例子

经过计算不难得到三个不等式

  1.(3)                 x3 - x0 <= 8
  2.(2) + (5)           x3 - x0 <= 9
  3.(1) + (4) + (5)     x3 - x0 <= 7

这样的话，我们在满足条件的情况下\(x[3]-x[0]\)最大为\(7\)

我们按上面的方法建出图

不难发现图中的最短路就是我们想要的答案！

难道这是巧合么?

肯定不是。仔细观察不难发现，我们连边的过程其实就是在转换不等式，求最短路其实就是求最小的限制条件。这样求出来的最短路即为满足条件的最大值

总结

这玩意儿其实挺套路的

如果你找出了题目中的限制条件，直接建图就好

最大值—>把所有式子整理为\(x[j]-x[i]<=k\)，从\(i\)向\(j\)连一条边权为\(k\)的边，跑最短路

最小值—>把所有式子整理为\(x[j]-x[i]>=k\)，从\(i\)向\(j\)连一条边权为\(k\)的边，跑最长路

在求解的时，因为经常要判断负环，所以选用SPFA算法

当一个点的入队次数超过\(n\)时必定出现负环

例题

几道水题

POJ1201

POJ1275

HDU3440

还有两道\(n\)年以前做的，没写题解

洛谷P1993

洛谷P3275